Мішаним добутком трьох векторів називається число, яке рівне векторному добутку перших двох векторів , помноженому скалярно на третій вектор . Векторно це можна подати формулою

Так як вектори на практиці задають в координатній формі, то їх мішаний добуток рівний визначникові, побудованому на координатах векторів
мішаний добуток векторів
В силу того, що векторний добуток антикомутативний, а скалярний добуток комутативний, то циклічна перестановка векторів в мішаному добутку не змінює його значення. Перестановка двох сусідніх векторів змінює знак на протилежний
властивості мішаного добутку
властивості мішаного добутку
Запам'ятайте наступне правило: мішаний добуток векторів додатній, якщо вони утворюють праву трійку та від'ємний – якщо ліву.

Геометричні властивості мішаного добутку

1. Об'єм паралепіпеда, побудованого на векторах рівний модулю мішаного добутку цих векторів
Об'єм паралепіпеда
2. Об'єм чотирикутної піраміди рівний третині модуля мішаного добутку
Об'єм чотирикутної піраміди
3. Об'єм трикутної піраміди рівний одній шостій модуля мішаного добутк
Об'єм трикутної піраміди
4. Умова компланарності векторів: три вектори компланарні тоді і лише тоді, коли їх мішаний добуток рівний ную

В координатах умова компланарності означає рівність нулю визначника
умова компланарності векторів
На цьому оротка теорія завершена і можна переходити до практичних занять.

 

Завдання на обчислення мішаного добутку векторів

Приклад 1. Визначити, якою трійкою (правою чи лівою) є вектори
1)
2)
3)
4)
5)

Розв'язок. Знайдемо мішаний добуток і за знаком з'ясуємо, яку трійку векторів вони утворюють

1) Виконуємо обчислення везначника побудованого на перших трьох векторах
мішаний добуток векторів

Вектори утворюють праву трійку ().

2) мішаний добуток векторів

Вектори утворюють праву трійку ().

3) Знаходимо визначник третього порядку
мішаний добуток векторів

Вектори утворюють ліву трійку, оскільки отримали від'ємний визначник ().

4) мішаний добуток векторів

Вектори утворюють праву трійку ().

5)мішаний добуток векторів

Вектори утворюють ліву трійку ().

6)мішаний добуток векторів

Дані вектори лінійно залежні.

 

Приклад 2. З'ясувати лінійну залежність векторів
1)
2)
3)

Розв'язок. Знайдемо мішаний добуток і перевіримо чи відмінні від нуля визначники
1) мішаний добуток векторів

Визначник рівний нулю, отже робимо висновок про лінійну залежність веторів.

2) Знаходимо визначик побудований на трьох веторах
мішаний добуток векторів

Вектори лінійно незалежні () та утворюють ліву трійку.

3) Обчислюємо мішаний добуток векторів


Вектори лінійно залежні ().

Таким методом можна розв'язати безліч інших задач, все в кінцевому результаті зводиться до відшукання визначників третього порядку. Знаходимо визначник, аналізуємо його значення і приймаємо потрібну відповідь. Інші задачі стосуються обчислення площ фігур (чотирикутники, піраміди), яі задані в просторі координатами. Знаходити об'єми за допомогою мішаного добутку будемо в наступних уроках.