Заміна змінних у тригонометричних рівняннях

Сьогодні розберемо складніші тригонометричних рівнянь, які потрібно вміти обчислювати при вступі у ВУЗи та проходженні зовнішнього незалежного оцінювання. Приклади із ЗНО підготовки підібрано так, що у всіх потрібно знайти кількість коренів, що належать проміжку [0;Pi] або [0;2Pi]. Водночас ці рівнянням при спрощенні методом заміни змінних зводяться до квадратних. А далі, в залежності чи корені квадратних рівнянь належать області допустимих значень тригонометричних функцій чи ні розв'язуємо останні. Після цього, перебираючи індексом, виписуємо всі корені з інтервалу та підраховуємо їх кількість. Ось така схема обчислень як під копірку буде фігурувати в кожному з наведених завдань.

Приклад 18.37 Знайти кількість коренів рівняння sin(2x)•tg(x)+1=3sin(x) на інтервалі (0;Pi).
Розв'язання: Рівняння спрощується при розписанні синуса подвійного кута та представленні тангенса через частку синуса до косинуса

Після перетворень отримаємо квадратне рівняння відносно синуса.
Тому робимо заміну змінних sin(x)=t, з обмеженнями на аргумент -1≤ t≤1.
Дане обмеження випливає з ОДЗ синуса, тобто корені, що виходять за ці межі до уваги далі братися не будуть.
На цьому в наступних прикладах наголос робити не будемо, але про це обмеження на практиці Ви повинні пам'ятати.
Виписуємо квадратне р-ня та через дискримінант знаходимо корені

Обидва значення відповідають ОДЗ синуса, тому почергово розв'язуємо:

(не задовольняє, бо значення tan(x) не існує, так як при синусі рівному одиниці маємо cos(x)=0 в знаменнику тангенса).
Розписуємо другий випадок:

Далі в уяві перебираємо номерами починаючи з мінімальних та встановлюємо, які підходять, щоб корінь належав заданому в умові інтервалу, а які вже завеликі і при них виходимо за межі проміжку.
В підсумку, при n=0 отримаємо x1=Pi/6, при n=1 отримаємо x2=5Pi/6.
При більших номерах n>1 маємо x>Pi, при менших n<0 маємо x<0.
Отже, на інтервалі (0;Pi) рівняння має 2 корені.
Відповідь: 2.

Приклад 18.38 Розв'язати рівняння 3sin(x)-2cos²(x)=3.
У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0;Pi].
Розв'язання: Щоб прийти до однієї змінної потрібно квадрат косинуса виразити через синус за допомогою основної тригонометричної тотожності

Таким чином приходимо до квадратного рівняння відносно синуса.
Зробимо заміну sin(x)=t, причому -1≤ t≤1.
Обчислюємо дискримінант та корені квадратного рівняння

Обидва значення містяться в інтервалі допустимих значень синуса, тому їх слід враховувати.
Повертаємося до заміни змінних та розв'язуємо:

При n>1 маємо x>Pi, при n≤0 маємо x<0.
Робимо висновок, що коренів на проміжку [0;Pi] рівняння sin(x)=-1 не має.
Розписуємо рівняння з синусом при правій частині рівній -1/2:

Перебираємо номерами:
При n≥1 маємо x>Pi , при n<1 маємо x<0.
Коренів на проміжку [0;Pi] рівняння sin(x)=-1/2 також не має.
Об'єднуючи обидва розв'язки приходимо до висновку, що на заданому проміжку [0;Pi] рівняння має 0 коренів.
Відповідь: 0.

Приклад 18.39 Розв'язати рівняння .
У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0;Pi].
Розв'язання: Оскільки маємо добуток синуса на косинус, то потрібно в штучний спосіб перейти до тангенса або котангенса.
Перевіримо чи може косинус рівний нулю бути розв'язком тригонометричного рівняння.
Якщо cos(x)=0, тоді .
При підстановці у задане рівняння (3≠0) бачимо, що cos(x)≠0.
Це є добрим знаком, оскільки дозволяє ділити всі члени рівняння на косинус.
Розділимо усі члени рівняння на cos²(x):

В такий спосіб приходимо до квадратного рівняння відносно тангенса.
Саме для цього і необхідна була перевірка, що раніше виконували.
Зробимо заміну tg(x)=u та через дискримінант розв'яжемо квадратне рівняння

Згадуємо попередню заміну змінних та розв'язуємо рівняння з тангенсом для правої частини рівної 1/3 та 1.
В першому випадку отримаємо tg(x)=1/3

Далі підбираємо номера, щоб знайти корені з проміжку.
При n=0 маємо , при n<0 маємо x<0 , при n>0 маємо x>Pi .
На вказаному інтервалі маємо один корінь.
Розглянемо другий випадок:
tg(x)=1,

Знову шукаємо корені перебором номерів з множини цілих чисел.
При n=0 маємо x2=Pi/4, при n<0 маємо x<0 . При n>0 маємо x>Pi.
Маємо ще один корінь, що належить проміжку [0;Pi].
Сумарно на проміжку [0;Pi] рівняння має 2 корені.
Відповідь: 2.

Приклад 18.41 Розв'язати рівняння cos(x)-cos(3x)=sin(2x).
У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0;Pi].
Розв'язання:Маємо складне тригонометричне рівняння, яке з допомогою тотожних перетворень слід звести до комбінації синусів чи косинусів з однаковим аргументом. Тут же маємо x, 2x, 3x.
Тому різницю косинусів через формули зведення замінюємо добутком синусів

Кінцеве рівняння можна розписати як два випадки sin(2x)=0 та 2sin(x)-1=0.
Розв'яжемо перший варіант
sin(2x) =0,

При n=0 маємо x1=0, при n=1 маємо x2=Pi/2, при n=2 маємо x3=Pi, при n<0 маємо x<0 , при n>2 маємо x>Pi .
Для другого варіанту 2sin(x)-1=0, sin(x)=1/2 записуємо розв'язок:

При n=0 маємо x4=Pi/6, при n=1 маємо x5=5Pi/6, при менших номерах n<0 маємо x<0 , при більших n>1 маємо x>Pi.
В підсумку на проміжку [0;Pi] початкове рівняння має 5 коренів.
Відповідь: 5.

Приклад 18.46 Розв'язати рівняння

У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0;2Pi].
Розв'язання: З аналізу тригонометричного рівняння

робимо висновок, що тут потрібно зробити замінних sin(x)+cos(x)=t та звести до квадратного.
При цьому грубе обмеження суми синуса та косинуса лежить в межах -2≤t≤2.
Насправді сума менша, оскільки синус та косинус одночасно не можуть дорівнювати одиниці.
Після заміни змінних отримаємо квадратне рівняння t^2-3t+2=0, яке розв'язуємо теоремою Вієта
t1=1, t2=2.
Другий корінь не досягається, але його ми теж перевіримо.
Повертаємося до заміни змінних та обчислюємо рівняння для t1=1:
sin(x)+cos(x)=1.
Тут косинус замінимо, врахувавши періодичність на синус, а далі застосуємо формули зведення

Підбираємо індекси і знаходимо корені, що належать проміжку.
При n=-1 маємо x1=2Pi,
при n=0 маємо x2=0, x3=Pi/2,
при n>0 маємо x<0 , при n<-1 маємо x>2Pi.
Отже, перше рівняння має три корені з проміжку.
Перевіримо чи має розв'язки друге рівняння sin(x)+cos(x)=2.

Після зведення бачимо, що права частина виходить за межі ОДЗ косинуса, оскільки √2>1.
Тому друге рівняння коренів не має.
Сумарно тестове рівняння на проміжку [0;2Pi] має 3 корені.
Відповідь: 3.

Приклад 18.50 Розв'язати рівняння

У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0;2Pi].
Розв'язання: Маємо тригонометричне рівняння 4 порядку від тангенса та котангенса.
Спершу записуємо обмеження, які дістаємо з ОДЗ цих функцій:
sin(x) ≠0 і cos(x) ≠0.
Враховуючи тригонометричну тотожність, що добуток тангенса на котангенс рівний одиниці, перетворюємо рівняння до вигляду:

Звідси бачимо, що маємо біквадратне рівняння відносно суми тангенса і котангенса.
Тому виконуємо заміну змінних , причому u≥0, та переходимо до розв'язання відповідного квадратного рівняння через дискримінант

Обидва значення додатні, тому можуть бути розв'язками.
Повертаємося до заміни змінних та для кожного з рівнянь знаходимо корені, що належать проміжку.
Для першого рівняння хід обчислень наведено у формулах

Шукаємо номера при яких корінь рівняння попадає в проміжок.
При k=1 маємо x1=2Pi/3,
при k=2 маємо x2=5Pi/6,
при k=3 маємо x3=5Pi/3,
при k=4 маємо x4=11Pi/6,
при більших чи менших номерах за наведені виходимо за межі потрібного проміжку.
При додатній правій частині цього ж рівняння дістанемо:

Шукаємо відмінні від попередніх за значення корені тригонометричного р-ня.
При n=0 маємо x5=Pi/6,
при n=1 маємо x6=Pi/3,
при n=2 маємо x7=7Pi/6,
при n=3 маємо x8=4Pi/3,
при інших номерах виходимо за потрібний діапазон.
Далі за аналогічною схемою використовуємо періодичність котангенса та формули зведення, щоб привести рівняння для u2 до найпростішого типу:

Оскільки права частина рівняння виходить за межі ОДЗ синуса -1≤sin(2x) ≤1, то рівняння коренів не має.
В підсумку початкове рівняння має 8 коренів на проміжку [0;2Pi].
Відповідь: 8.