Степеневі та функціональні ряди можуть бути збіжними на множині дійсних чисел, на певному інтервалі, або бути розбіжними. Встановлення радіусу збіжності та області збіжності ряду є важливим при дослідженні рядів. Радіус збіжності рівний половині ширини області збіжності. На практиці обидві характеристики знайти не важко і Ви в цьому скоро переконаєтеся.

Приклад: 3.6 Знайти радіус збіжності та область збіжності степеневих рядів:

а) ряд
Обчислення: Для оцінки складемо ряд із модулів членів заданого ряду, тобто ряд із наступним загальним членом
загальний член ряду
Далі, так як отриманий ряд має додатні члени, то досліджувати його на збіжність будемо за допомогою ознаки Даламбера:
ознака Даламбера
Для цього виписуємо наступний до загального член ряду

та підставляємо в формулу границі. Вигляд членів ряду непростий, тому будьте уважні при розписуванні границі
границя за Даламбером
границя за Даламбером
Вкінці приходимо до експоненти та функціонального множника.
Якщо границя менша одиниці,

то ряд збігається за теоремою Даламбера.
Звідси складаємо обмеження на допустимі "ікси"

- область збіжності.
Отже знайшли - радіус збіжності та
область збіжності ряду - область збіжності ряду.
Для себе запам'ятайте, що радіус збіжності рівний половині відстані між крайніми точками області збіжності.

б) ряд
Обчислення: Складемо ряд із модулів членів заданого ряду, тобто із загальним членом
загальний член ряду
Ми отримали ряд з додатними членами, тому можемо досліджувати його на збіжність за допомогою ознаки Даламбера.
Для цього записуємо наступний член ряду

та підставляємо в границю
границя за Даламбером
При границі меншій одиниці - ряд збігається за теоремою Даламбера.
З цієї умови знаходимо
область збіжності ряду - область збіжності.
Таким чином, ми знайшли R=4 - радіус збіжності ряду, та область збіжності .



Приклад: 3.11 Знайти радіус збіжності та область збіжності степеневих рядів:

а) ряд
Обчислення: Члени заданого функціонального ряду
загальний член ряду
визначені на всій дійсній осі , тобто область визначення наступна
.
Складемо ряд із модулів членів заданого ряду:
,
Його загальний член має формулу
загальний член ряду
Оскільки новий ряд має додатні члени, то досліджувати на збіжність будемо за ознакою Даламбера:
границя за Даламбером
При - ряд збігається за теоремою Даламбера, тобто необхідно, щоб виконувалися умови
область збіжності ряду
Звідси знаходимо R=2 – радіус збіжності ряду та (0; 4) - область збіжності.

 

б) ряд

Обчислення: Члени заданого функціонального ряду
загальний член ряду
визначені при , тобто область визначення наступна
.
Складемо ряд із модулів членів заданого ряду:

Для дослідження ряду на збіжність використаємо ознаку Даламбера:
границя за Даламбером
За теоремою Даламбера при границі меншій за одиницю - ряд збігається.
Звідси знаходимо область збіжності
область збіжності ряду
та R=1/3 радіус збіжності. Із наведених прикладів
Ви могли побачити таку закономірність, що значення, що обмежує модуль є радіусом збіжності ряду.
Область збіжності має в два рази більшу довжину і визначається розкриттям модуля.



Приклад: 3.17 Знайти радіус збіжності та область збіжності степеневих рядів:

а) ряд
Обчислення: Члени заданого функціонального ряду
загальний член ряду
визначені при всіх дійсних аргументах , тобто .
Складемо ряд із модулів членів заданого ряду:
,
тобто

Оскільки даний ряд має додатні члени, то досліджувати його на збіжність будемо за допомогою ознаки Даламбера. Виписуємо наступний за загальним член ряду

та підставляємо у границю
границя за Даламбером
При 3|x|<1 - ряд збігається,
тобто
область збіжності ряду – область збіжності.
Все, що справа від модуля це R=1/3 – радіус збіжності ряду, а обмеження на "ікс"
– це область збіжності.

б) ряд
Обчислення: Члени функціонального ряду

визначені на всій дійсній множині , їх область визначення .
Складемо ряд із модулів членів заданого ряду:

що мають наступний загальний член
загальний член ряду
Утворений ряд будемо досліджувати на збіжність за ознакою Даламбера:
Для цього записуємо наступний член, що йде після загального

та підставляємо у границю
границя за Даламбером
При 2|x|- ряд буде збіжним за Даламбером.
Розкриваємо модуль і знаходимо
область збіжності ряду – область збіжності.
та R=1/2 – радіус збіжності.
У вигляді інтервалу записуємо область збіжності



Приклад: 3.27 Знайти радіус збіжності та область збіжності степеневого ряду:

а) ряд
Обчислення: Члени функціонального ряду визначені на дійсній осі
Складемо ряд із модулів членів цього ряду:

Загальний член задається формулою
загальний член ряду
Досліджувати ряд із модулів на збіжність будемо за допомогою ознаки Даламбера:
Записуємо наступний член

та знаходимо границю
границя за Даламбером
Оскільки A=0<1, то ряд збігається (за теоремою Даламбера) при всіх дійсних змінних , тобто має необмежену - область збіжності.
Ряд має безмежний - радіус збіжності.

 

б) ряд
Обчислення: Члени ряду визначені на множині дійсних чисел

Побудуємо ряд із модулів членів ряду:

Далі записуємо загальний та наступний після нього член ряду
загальний член ряду
та підставляємо у границю
границя за Даламбером
За теоремою Даламбера ряд збігається при 3|x|. З цієї умови визначаємо
область збіжності ряду – область збіжності ряду
та R=1/3 – радіус збіжності.
У вигляді інтервалу область збіжності матиме запис .
Тепер Ви знаєте як знайти область збіжності та радіус збіжності ряду. Користуйтеся наведеними формулами та успішної Вам здачі сесії.

Готові розв'язки на ряди: