Дослідження збіжності рядів є важливим з точки зору їх оцінки та необхідним у випадку обчислення суми ряду. Ознак збіжності рядів декілька, популярна і достатньо проста в застосуванні для рядів з додатними членами - ознака збіжності Даламбера. Нижче буде розібрано ряд прикладів на встановлення збіжності ряду за ознакою Далабера, спробуйте для себе взяти максимум потрібного.

Приклад: 2.5 Дослідити збіжність рядів

а) ряд
Обчислення: Оскільки даний ряд має додатні члени, то досліджувати його на збіжність будемо за допомогою ознаки Даламбера:
ознака Даламбера
Записуємо загальний член ряду та наступний, що йде після нього
член ряду
член ряду
Та знаходимо границю їх частки
збіжність за Даламбером
Оскільки границя нескінченна , то за ознакою Деламбера ряд розбіжний.


б) ряд
Обчислення: Члени ряду додатні, тому досліджувати на збіжність будемо за ознакою Даламбера: Записуємо формули послідовних членів ряду
члени ряду
Та знаходимо границю наступного члена до попереднього при n прямуючому до безмежності
збіжність за Даламбером
Границя рівна нулю, так як показник прямує до нескінченності, а в дужках маємо значення менше за одиницю.
За теоремою Даламбера A=0<1 ряд збігається!

 

Приклад: 2.8 Дослідити ряди на збіжність:

а) ряд
Обчислення: Як Ви вже переконалися усі приклади, що тут розглядаються слід перевіряти за ознакою Даламбера.
В результаті спрощення прийдемо до другої чудової границі – експоненти
збіжність за Даламбером
Загалом границя менша одиниці отже ряд збігається.



б) ряд
Обчислення: Для перевірки на збіжність ряду за ознакою Даламбера обчислюємо границю
збіжність за Даламбером
Границя рівна 0 (A=0<1), отже ряд збігається!

 

Приклад: 2.14 Дослідити ряд на збіжність

а) ряд

Обчислення: Знаходимо границю частки наступного члена ряду до попереднього
збіжність за Даламбером
Для зручності читання формул наступний член ряду виділений під границею чорним кольором. Добре розберіться як ділити факторіал на факторіал.
За ознакою Даламбера ряд збігається!


б) ряд
Обчислення: Записуємо формулу загального члена ряду та наступного за ним
член ряду член ряду
Підставляємо їх в формулу Даламбера та обчислюємо границю
збіжність за Даламбером
Границя рівна нулю 0<1, а це значить що даний ряд збігається.



Приклад: 2.16 Дослідити ряд на збіжність:

а) ряд
Обчислення: За ознакою Даламбера перевіряємо границю членів ряду на обмеженість
перевірка на збіжність ряду
Перетворивши множники в чисельнику і знаменнику дробу зведемо функцію в дужках до другої чудової границі
перевірка на збіжність ряду
Оскільки границя менша одиниці
,
то за теоремою Даламбера ряд збігається.


б) ряд
Обчислення: Задано числовий степеневий ряд з додатніми членами. Знайдемо границю відношення наступного члена ряду до попереднього
перевірка на збіжність ряду
При обчисленні границі думаю всі моменти Вам зрозумілі, якщо ні то Вам потрібно переглнути категорію "границі функцій".
Отримали гранию менше одиниці,

отже за ознакою Даламбера ряд збіжний.



Приклад: 2.26 Дослідити збіжність ряду:
а) ряд
Обчислення: Для застосування ознаки Даламбера випишемо загальний член ряду та наступний за ним
член ряду
член ряду
Далі підставимо їх та знайдемо границю
перевірка на збіжність ряду
Границя рівна A=3/2>1, а це означає що даний ряд розбігається!



б) ряд
Обчислення: Записуємо два послідовні члени додатного ряду
член ряду
член ряду
Знаходимо границю для оцінки збіжності ряду за теоремою Даламбера.
перевірка на збіжність ряду
В ході обчислень отримаємо другу чудову границю (експоненту) як в чисельнику, так і в знаменнику. Результуюча границя більша одиниці , отже робимо висновок про розбіжність ряду.

Готові розв'язки на ряди: