«Як знайти рівняння площини, що проходить через три точки?» – саме таке завдання часто підводить студентів. А схема знаходження площини досить проста і зрозуміла.
Перш за все необхідно, щоб точки не лежали на одній прямій. Але цієї умови ніхто не перевіряє, оскільки рідко який викладач задасть завдання на відшукання площини, коли в умові точки із прямої в просторі.
Якщо точки не містяться на одній прямій то вони однозначно визначають площину.
Виведемо формулу площини за відомими 3 точками.
Візьмемо додаткову точку М (х; у;z) з площини і знайдемо вектори, що виходять з однієї точки

М1М3=(x3-x1;y3-y1;z3-z1), М1М =
= (х -x1;y-y1;z-z1),M1М2=
=(х2 - х1; у2 — у1, z2 -z1).

Ці вектори лежать в площині П, тобто вони компланарні. Оскільки мішаний добуток компланарних векторів дорівнює нулю, то маємо векторний запис площини
векторний запис площини
та через координати
формула площини через 3 точки

Якщо розкласти визначник за алгебраїчними доповненнями до першого рядка, щоб спростити і мати зручний запис, то отримаємо таку формулу площини
рівняння площини
Таким чином, знайшовши визначники другого порядку та звівши подібні доданки, отримаємо загальне рівняння площини

Ax+By+Cz+D=0.

Рівняння площини у відрізках на осях

Будь, яка площина, що проходить через три точки відтинає на осях певні відрізки. Їх досить легко знайти: покладаємо дві координати рівні нулю і знаходимо третю. Зокрема, поклавши y=z=0 загальне рівняння площини набуде вигляду
Ax+D=0

Або
x=a=-D/A.
Так само отримаємо y=b=-D/B; z=c=-D/C.
Отримаємо, що площина відтинає на осях Ох, Оу, Оz відрізки а, b, с, або проходить через точки
А1 (а; 0; 0), В1 (0; b; 0) і С1 (0; 0; с).
Підставляючи координати цих точок у формулу площини і розкриваючи визначник, дістанемо рівняння
хbс + уас + zаb — аbс = 0
або
рівняння площини у відрізках
Рівняння називається рівнянням площини у відрізках на осях. Рівняння зручне при побудові площини.

Приклади на складання рівняння площини

Приклад 1. Написати загальне рівняння площини, що проходить через точки М1 (1; -2; 3), М2 (-1; 3; 2), М3 (5; 0; 4).
Розв'язання: Записуємо координати векторів M1M, M1M2, M1M3:
M1M(x-1; y+2; z-3),
M1M2(-1-1; 3+2; 2-3)=(-2; 5; -1),
M1M3(5-1; 0+2; 4-3)=(4; 2; 1).

Складаємо визначник із векторів
визначник
Розписуємо визначник через алгебраїчні доповнення та групуємо подібні доданки
розклад визначника
Прирівнявши визначник до нуля, отримаємо шукане рівняння площини
7x+2y-24z+69=0.

 

Приклад 2. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки
М1(1;2;3) , М2(3;5;7), М3(1;2;9) .

Розв'язання: Обчислюємо координати векторів M1M, M1M2, M1M3:
M1M(x-1; y-2; z-3),
M1M2(3-1; 5-2; 7-3)=(2; 3; 4),
M1M3(1-1; 2-2; 9-3)=(0; 0; 6).

Складаємо рівняння площинии через визначник
визначник
Далі, замість того, щоб розкладати його за елементами першого рядка розкладемо за 3 рядком. Обчислень при цьому стане менше
розклад визначника
Загальне рівняння площини 18x-12y-6=0 не містить змінної z, а це значить, що z набуває довільних значень, а в площині Oxy маємо пряму 3x-2y-1=0.

 

Приклад 3. Скласти рівняння площини, яка проходить через 2 точки М1(1;-1;2) , М2(2;5;-3) і перпендикулярна до площини
2х+3у-z+4=0.

Розв'язання: Схема розв'язування задачі наступна:
знаходимо нормальний вектор шуканої площини;
За нормальним вектором і точкою складаємо рівняння площини.
Теоретично все зрозуміло, перейдемо до реалізації.
Нормальний вектор шуканої площини n знаходимо через векторний добуток векторів M1M2 та нормалі l до заданої площини
l(2;3;-1) (2х+3у-z+4=0).

Отже нормаль до шуканої площини має координати n(9; -9; -9).
Знаючи нормальний вектор до площини n(9; -9; -9) і точку на ній М1(1;-1;2), рівняння площини знаходимо за формулою
рівняння площини
Отримали загальне рівняння площини 9x-9y-9z=0, що не містить вільного доданка. А це значить, що знайдена площина проходить через початок координат.

Рівняння площини в Maple

Для економії часу обчислень можете написати калькулятор на мові програмування чи готовому математичному пакті. Для прикладу, нижче наведено код знаходження рівняння площини в "мейпл" . Це досить простий і потужний математичний пакет, яким можна розв'язати масу задач для інженерів та студентів. В даному прикладі використаємо модуль лінійної алгебри "linalg".
> restart; with(linalg):
Задаємо координати точок через вектори
> M1:=<3,4,7>; M2:=<2,-1,3>; M3:=<4,5,-2>;
точкаточкаточка
Будуємо три вектори в площині
> M1M:=< x,y,z >-M1;
M1M2:=M2-M1;
M1M3:=M3-M1;

векторвекторвектор
Складаємо з них матрицю
> A:=< M1M|M1M2|M1M3 >;
матриця
Обчислюємо визначник і прирівнюємо його до нуля.
> Plane:=det(A)=0;

рівняння площини через три точки

Це і буде рівняння площини, що проходить через три точки. Міняєте координати – отримуєте нове рівняння площини.
На цьому ознайомлення з даною темою завершено. Використовуйте наведені методики у навчанні.