Механіка

Кінематичні рівняння руху. Знайти момент часу

Sat, 10 Nov 2018 23:50:51 +0200

Задача 1. Кінематичні рівняння руху двох матеріальних точок мають вигляд кубічних тричленів:

де сталі приймають значення B₁=4 м/с², С₁=-3 м/с³, B₂=-2 м/с², С₂=1 м/с³.
Визначте момент часу, для якого прискорення цих точок однакові.

Дано:

Розв’язання:

Якщо задано закон руху матеріальних точок x=x(t), то похідна від нього за часом описує
- швидкість матеріальної точки;
Похідна від швидкості за часом рівна
- прискоренню матеріальної точки.
Диференціюванням обчислюємо:
- прискорення першої матеріальної точки;
- прискорення другої.

Знайти:
час t

Час, для якого прискорення цих точок однакові знайдемо з умови рівності прискорень a₁=a₂:
, звідси знаходимо невідомий час

Це і є схема обчислення подібного змісту завдань.
Відповідь: t=0,5 c.

Знайти радіус колеса

Sat, 10 Nov 2018 23:48:37 +0200

Задача 2. Колесо обертається так, що залежність кута повороту колеса від часу задається рівнянням , де B=2 рад/с, C=1 рад/с², D=0,5 рад/с³.
Знайти радіус R колеса, якщо відомо, що до кінця другої секунди руху для точок, що лежать на ободі колеса, нормальне прискорення 24,5 м/с².

Дано:

Розв’язання:

Нормальне прискорення точок, що лежать на ободі колеса визначають за формулою:
, де ω- кутова швидкість колеса, R радіус колеса.
Якщо задано залежність кута повороту, як функцію від часу , то диференціюванням дістанемо
- залежність кутової швидкості від часу.
Звідси маємо- формулу кутової швидкості колеса.

Знайти: R

Радіус колеса знайдемо з формули:

Підставляємо кутову швидкість та виконуємо обчислення радіуса

Відповідь: R=17 см.

Знайти кількість теплоти

Sat, 10 Nov 2018 23:47:47 +0200

Задача 3, 2.75 Тіло з масою 3 кг рухається зі швидкістю 4 м/с і вдаряється об нерухоме тіло такої ж маси.
Вважаючи удар центральним і непружним, знайти кількість теплоти, яка виділилась під час удару.

Дано:	Розв’язання: Під час удару двох тіл, згідно із законом збереження імпульсу, запишемо рівність: , де u - швидкість тіл після непружного удару. Звідси виражаємо швидкість
Знайти: Q

За законом збереження енергії запишемо рівність:
W₁=W₂+Q, де
- кінетична енергія тіл до удару (тобто сумарна енергія 2-х тіл),
- кінетична енергія тіл після удару,
Q - внутрішня енергія тіл після удару, яка дорівнює кількості виділеної теплоти.
Різниця між енергіями рівна

Відповідь: Q=12 Дж.

Знайти прискорення вантажу

Sat, 10 Nov 2018 23:45:57 +0200

Задача 4, 3.11 На барабан масою 9 кг намотано шнур, до кінця якого прив'язаний вантаж масою 2 кг.
Знайти прискорення вантажу.
Барабан вважати однорідним диском.
Тертям знехтувати.

Дано:
m₁=9 кг;
m₂=2 кг.

Розв’язання:

За ІІ законом Ньютона запишемо рівняння руху вантажу:
, де a - прискорення і m₂=2 кг - маса вантажу;
- рівнодійна сил на вантаж,
де - сила натягу шнура.
З рівноваги сил дістанемо
.
Спроектуємо останнє рівняння на вісь y: ,
звідси . (*)

Запишемо рівняння динаміки обертового руху барабана:

де - момент інерції барабану;
- кутове прискорення і R - радіус барабану.

Знайти:
a

З іншої сторони, оскільки барабан нерухомий, то M=T·R, звідси маємо
, звідки отримуємо натяг нитки

З рівняння (*):

виражаємо прискорення вантажу:

(Цю задачу можна розв'язати за допомогою закону збереження енергії:
, де - потенціальна енергія вантажу;
- кінетична енергія обертового руху барабана;
- кінетична енергія поступального руху вантажу, звідси
, отже ).
Відповідь: a=3,02 м/с².

Робота по зупинці диску

Sat, 10 Nov 2018 23:44:27 +0200

Задача 5, 3.21 Однорідний диск діаметром 60 см і масою 1 кг обертається навколо осі, що проходить через центр перпендикулярно до його площини, з частотою 20 об/с.
Яку роботу потрібно виконати, щоб зупинити диск?

Дано:
D=60 см,
m=1 кг,
n1=20 об/с.

Розв’язання:
Переведемо задані величини в одиниці СІ:
D=60 см =0,6 м - діаметр диску,
- початкова кутова швидкість,
- кутова швидкість після зупинки.

Знайти: A

Запишемо вираз для обчислення роботи, яку потрібно виконати, щоб зупинити диск:
-A=W2-W1,
де - початкова кінетична енергія диску (при частоті обертання n1),
- кінетична енергія, після зупинки диску.
- момент інерції диску.
Отже робота рівна
.
Відповідь: A=355,31 Дж.

Момент імпульсу вала

Sat, 10 Nov 2018 23:43:41 +0200

Задача 6, 3.22 Кінетична енергія вала, що обертається з частотою 5 об/с, дорівнює 60 Дж.
Обчислити момент імпульсу вала.

Дано: N=5 об/с, W=60 Дж.	Розв’язання: Запишемо формулу для обчислення моменту імпульсу вала: , де J – момент інерції і – кутова швидкість валу.
Знайти: L

З іншої сторони формула для обчислення кінетичної енергії обертання валу:
, звідси знаходимо момент інерції

та підставляємо все в формулу моменту імпульсу вала

Відповідь:

Кінетична енергія тіл

Sat, 10 Nov 2018 23:42:49 +0200

Задача 7, 3.23 Визначити кінетичну енергію велосипедиста, що їде зі швидкістю 9 км/год.
Маса велосипедиста разом з велосипедом 78 кг, причому на колеса припадає 3 кг.
Колеса велосипеда вважати обручами.

Дано:
v=9 км/год,
m=78 кг,
m0=3 кг.

Розв’язання:
Переведемо деякі величини в одиниці СІ:
- швидкість велосипедиста.
Кінетична енергія велосипедиста W складається з кінетичної енергії поступального руху і кінетичної енергії обертового руху двох колес , тобто
,
де - кутова швидкість колеса;
R - радіус колеса;
- момент інерції колеса;
m0 - маса колес.

Знайти:
W

Звідси визначаємо кінетичну енергію велосипедиста

Відповідь: W=253,13 Дж.

Кутове прискорення колеса, гальмівний момент, робота гальмівних сил

Sat, 10 Nov 2018 23:40:56 +0200

Задача 8, 3.30 Колесо, обертаючись рівносповільнено, під час гальмування за 1 хв зменшило частоту обертання від 300 до 180 об/хв.
Момент інерції колеса дорівнює 2 кг∙м².
Визначити:
1) кутове прискорення колеса;
2) гальмівний момент;
3) роботу гальмівних сил.

Дано: t=1 хв, n₁=300 об/хв, n₂=180 об/хв, J=2 кг·м².	Розв’язання: Переведемо деякі величини в одиниці СІ: t=1 хв=60 с - час гальмування колеса; - початкова частота обертання колеса; - кінцева частота обертання колеса. Обчислимо кутове прискорення колеса із залежності: .
Знайти: ω, M, A.

Гальмівний момент колеса знайдемо за формулою:
.
Обчислимо роботу гальмівних сил (-A=W2-W1):

Ось так просто та швидко знайшли три шукані значення.
Відповідь:

Момент інерції. Момент сил гальмування

Sat, 10 Nov 2018 23:39:43 +0200

Задача 9, 3.31 Вентилятор обертається з частотою 900 об/хв.
Після вимкнення вентилятор, обертаючись рівносповільнено, зробив до зупинки 75 обертів.
Робота сил гальмування 44,4 Дж.
Обчислити момент інерції вентилятора та момент сил гальмування.

Дано:
n1=900 об/хв
N=75 об;
Aг=44,4 Дж.

Розв’язання:
Переведемо деякі величини в одиниці СІ:
- початкова частота обертання вентил.;
n₂=0 - кінцева частота обертання вентилятора.
- початкова кутова швидкість обертання вентилятора;
- кінцева кутова швидкість вентилят. (тобто після зупинки).

Знайти:
J, Mг.

Запишемо вираз для обчислення роботи гальмівних сил ():

звідси виражаємо
- момент інерції вентилятора.
Запишемо формулу для знаходження моменту гальмівних сил:

Знайдемо прискорення вентилятора:

Знайдемо час гальмування вентилятора:

звідси t=2N/n1, (n₂=0).
Маємо всі дані для обчислення моменту сил гальмування:

Відповідь:

Кутова швидкість та прискорення

Sat, 10 Nov 2018 23:38:37 +0200

Задача 10, 3.42 Горизонтальна платформа, маса якої 80 кг і радіус 1 м, обертається з частотою 20 об/хв.
У центрі платформи стоїть людина і тримає у розведених руках гирі.
Скільки обертів за хвилину буде робити платформа, якщо людина, опустивши руки, зменшить свій момент інерції від 2,94 до 0,98 кг∙м²? Платформу вважати однорідним диском.

Дано:
m=80 кг;
R=1 м,
n1=20 об/хв,
J1л=2,94 кг·м2.
J2л=0,98 кг·м2.

Розв’язання:
Переведемо деякі величини в одиниці СІ:
- початкова частота обертання платформи.
За законом збереження імпульсу запишемо рівність:
,
де - початкова кутова швидкість обертання платформи;
- кінцева кутова швидкість обертання платформи;
- початковий момент інерції обертання платформи;
- кінцевий момент інерції обертання платформи (тобто після того, як людина зменшила свій момент інерції).

Знайти:
n₂

Виконуємо перетворення

звідси

Відповідь: n₂=21 об/хв.

Задача 11, 1.23 Залежність пройденого шляху від часу задано рівнянням s=A-Bt+Dt³ ( A=6 м; B=3 м/с; C=2 м/с²; D=1 м/с³).
Визначити для тіла в інтервалі часу від t₁=1 с до t₂=4 с:
1) середню швидкість;
2) середнє прискорення.

Дано:	Розв’язання: Довжина пройденого шляху в момент часу t₁: довжина пройденого шляху в момент часу t₂: Залежність швидкості від часу: Швидкість в момент часу t₁: швидкість в момент часу t₂:
Знайти: ,

Обчислимо середню швидкість за інтервал часу від t₁=1 с до t₂=4 с:

Обчислимо середнє прискорення за інтервал часу від t1=1 с до t2=4 с:
.

Відповідь:

Задача 15, 1.48 Колесо, обертаючись рівносповільнено, під час гальмування зменшило частоту за 1 хв від 300 до 180 об/хв.
Знайти кутове прискорення колеса і кількість його обертів за цю хвилину.

Дано:
t=1 хв,
n1=300об/хв,
n2=180 об/хв.

Розв'язання:
Переведемо деякі величини в одиниці СІ:
t=1 хв=60 с - час гальмування колеса;
- початкова частота обертання колеса;
- кінцева частота обертання колеса.
Обчислимо кутове прискорення колеса:
.

Знайти:

ε, N

Обчислимо кількість обертів колеса за час t=60 с:
.
Відповідь: