Обчислення визначників другого - четвертого порядку

Навчитися обчислювати визначники, обернені матриці і т.д. – одне з основних завдань для першокурсників, які здобувають освіту на факультетах з математичним нахилом в навчанні. Багато сервісів в інтернеті пропонують онлайн знаходження визначників і всього іншого, що стосується матриць, проте мало програм – математичних калькуляторів, які показують хід розв'язування. В кінці статті Вашій увазі пропонується такий калькулятор, але про це пізніше, а зараз давайте розглянемо декілька прикладів на знаходження визначника матриці.

За довідник візьмемо збірник задач Дубовика В.П., Юрика І.І. "Вища математика ". Пізніше будуть додані приклади обчислення визначника матриці з інших джерел.

--------------------------------------------

Приклади.

1) (1.4)

Застосуємо правило обчислення визначника для матриці другого порядку.

визначник матриці другого порядку, обчислення

2) (1.6)

Виконаємо обчислення згідно правила

визначник матриці другого порядку, обчислення

визначник матриці другого порядку, обчислення

3) (1.8)

Даний приклад виглядає складним, проте зі знанням наступних правил логарифма

властивості логарифма

розв'язується напрочуд швидко.

визначник матриці другого порядку, обчислення

визначник матриці другого порядку, обчислення

4) (1.14)

Обчислимо даний визначник двома способами: правилом трикутників та через алгебраїчні доповнення.

визначник матриці третього порядку, обчислення

визначник матриці третього порядку, обчислення

визначник матриці третього порядку, обчислення

А зараз розкладемо за елементами першого рядка, оскільки в ньому найбільше нулів

В цьому прикладі спеціально виписані доповнення біля нульових множників, оскільки не всі розуміють звідки беруться доповнення. За правилом вони рівні визначнику, який утворюється викреслюванням рядка та стовпця того елемента , для якого шукаються, помноженому на мінус одиницю в степені

.

Схематично на прикладі матриці четвертого порядку це виглядає так:

Уважно подивіться, які елементи у визначнику виписані для доповнень і Вам все стане зрозуміло.

Суть методу алгебраїчних доповнень полягає в тому, що коли ми маємо матрицю з нульовими елементами то, розклавши її за за рядком чи стовпцем в якому найбільше нулів нам залишається обчислити стільки визначників на порядок менших від основної матриці, скільки є ненульових елементів. Це значно спрощує обчислення.

6) (1.19)

Якщо обчислення проводити за правилом трикутників, то отримаємо багато нульових добутків. В такого роду прикладах доцільно використовувати алгебраїчні доповнення.

визначник матриці третього порядку, обчислення

7) (1.21)

Обчислимо визначник через алгебраїчні доповнення третього рядка

визначник матриці третього порядку, обчислення

визначник матриці третього порядку, обчислення

Як можна переконатися, розв'язок з допомогою алгебраїчних доповнень у випадках розріджених матриць можна отримати швико і без великої кількості обчислень.

8) (1.58)

Виконаємо елементарні перетворення. Від другогорядка віднімемо перший, а від четвертого – третій. Отримаємо розріджену матрицю

Визначник знайдемо через алгебраїчні доповнення до четвертого рядка

визначник матриці четвертого порядку, обчислення

Обчислимо кожен з доданків

визначник матриці третього порядку, обчислення

визначник матриці третього порядку, обчислення

Підставляємо у визначник

9) (1.72)

матриця пятого порядку

Знайдемо визначник через розклад за рядками і стовпцями, що містять нулі (виділені чорним).

визначник матриці четвертого порядку, обчислення

Таким методом знаходження визначника п'ятого порядку звелося до простих обчислень. Практикуйте та вчіть правила і через деякий час у Вас виходитиме не гірше. До зустрічі в наступних уроках!

----------------------------------------------

<

Перейти на  Попередню статтю  Головну сторінку   Наступну статтю 

Copyright 2012-2014. yukhym. com - Математика для Вас
Joomla 1.7 templates free. Yukhym.com-математичний студентський портал