Приклади на показникові рівняння та системи рівнянь досить часто важко спростити. Всі шукають допомоги в методичках, інтернеті , серед знайомих. Нижче наведені схеми розв'язування типових для практики прикладів на показникові рівняння. Їх Ви можете зустріти на контрольній, тестах, проходженні ЗНО з математики. Пояснення достатньо розписані, тож розбирайте і вибирайте корисний для себе матеріал.

Показникові рівняння середньої складності

Приклад 1. Розв'язати рівняння
2(2x+1)+2(2x+2)+2(2x)=28.

Розв'язання: Дехто вже мабуть подумав, що ми збираємося грузити складними завданнями і збирається покинути сторінку. Проте все з точністю до наоборот, це одне з простих рівнянь і з обчислень Ви скоро в цьому переонаєтесь.
Схема розв'язування подібних показникових прикладів: виносимо множник в найменшому степені за дужки
показникове рівняння, методика
Подальші дії стануть ясними в ході самих обчислень. Як правило, показникові рівняння спрощується до найпростішого типу з якими практично усі знають, що робити. В нашому випадку
показникове рівняння, розв'язок
Далі якщо маємо рівні основи (2=2), то і показники мають бути рівні 2x=2; x=1. Ось і вся мудрість!
Однак на ній можна побудувати такі показникові рівняння, що голова почне боліти не тільки в студента, а й у викладача, якому прийдеться пояснювати біля дошки складне завдання. Тож не розслабляйтеся і уважно перегляньте наступні приклади.

Приклад 2. Знайти добуток розв'язків рівняння
показникове рівняння
Розв'язання: Таке завдання під силу не кожному. Тут потрібно добре знати і тригонометрію і показникові рівняння. Перетворимо спочатку праву сторону
тригонометрія
і вже бачимо, як розв'язувати показникове рівняння
показникове рівняння
Записано в такому вигляді, оскільки не всі ще навчилися бачити показники. Прирівняємо степені і отримаємо квадратне рівняння
квадратне рівняння
Далі залежить від ваших знань. Можна розв'язувати квадратне рівняння через дискримінант і шукати добуток розв'язків рівняння, а можна скористатися теоремою Вієте, що ми і зробимо. За нею добуток коренів рівний вільному члену, тобто (-1). Ось і всі обчислення для даного прикладу. І головне, вкінці не забувайте читати, що потрібно знайти, а то на контрольній багато з Вас сидять розгублені і шукають корені, які в даному випадку не такі і прості.
А потрібно знайти їх добуток!
Слідкуйте завжди за умовою.

Приклад 3. Обчислити х+у, якщо вони є розв'язками системи показникових рівнянь

система показникових рівнянь
Розв'язання: Маємо систему показникових рівнянь з двома невідомими. Легкість обчислень полягає в тому, що з другого рівняння ми можемо знайти першу величину і підставити в 1 рівняння. Перетворимо 2 рівняння до стандартного виду
розв'язок
Одна змінна рівна x=-3. Підставимо її в перше рівняння
обчислення
Звоседемо до тієї ж основи другу дужку

показникове рівняння

Щоб число в певному степені було рівне одиниці (що стоїть справа), необхідно, за властивістю показників, щоб степінь дорівнював нулю. Розв'язки рівняння легко отримати із наступної залежності
розв'язування
Згідно умови завдання, знаходимо суму розв'язків -3+1=-2.

Приклад 4. Знайти суму розв'язків рівняння
показникове рівняння

Розв'язання: В основі показникового рівняння маємо тригонометричні функції. Не важко здогадатися, що в подібних прикладах вони повинні приймати однакові за модулем значення або обернені (2 і 1/2 у випадку тангесів, котангенсів). Косинус 60 градусі рівний синусу 30 і =1/2.
Простими словами - основи рівні, залишилося прирівняти показники і розв'язати квадратне рівняння.
квадратне рівняння
Знову є два варіанти:
1. Шукати корені через дискримінант і сумувати їх.
2. Застосувати теорему Вієте. За Вієтом сума коренів, взята з протилежним знаком відповідає значенню при змінній, тобто
x1+x2=-(-3,5)=3,5.
Це були приклади для розминки.

Складні показникові рівняння. Схеми зведення до простих

Приклад 5. Знайти більший розв'язок рівняння

показникове рівняння
Розв'язання: Перепишемо праву сторону показникового рівняння
показникове рівняння
Тут ми піднесли до (-1) степеня основу, відповідно в показнику поміняли знак на протилежний. Прирівнюючи показники, отримаємо квадратне рівняння
рівняння
квадратне рівняння
Корінь з дискримінанту рівний 3.
Більший корінь приймає значення х=(-7+3)/2=-2.
Правиьна відповідь знайдена. Складність в таких завданнях полягає, що частині школярів, як і студентів, зазвичай незрозуміло як таке рівняння привести до показникового.

Приклад 6. Знайти від'ємний розв'язок рівняння
показникове рівняння

Розв'язання: В цьому прикладі потрібно звести обидві сторони показникового рівняння до однієї основи. Виконуємо перетворення
перетворення показників перетворення показників
Остаточне рівняння таке
показникове рівняння
Основи тут рівні, прирівнюємо степені
квадратне рівняння
Знаходимо дискримінант квадратного рівняння та шуканий від'ємний розв'язок
x=(4-8)/(2*4)=-0,5.
Ось така тяганина з показниками може Вам підвернутися на тестуванні, тому будьте готові до всього.

Приклад 7. Знайти натуральний розв'язок рівняння
показникове рівняння.
Розв'язання: Зводимо показникові рівняння до однієї основи
степені
степені
Рівняння спроститься до стандартного
показникове рівняння
квадратне рівняння
Обчислюємо дискримінант
дискримінант
та корені рівняння
x1=(2+6)/2=4;
x2=(2-6)/2=-2
– не є натуральним числом.
Отже єдина правильна відповідь x=4.

 

Приклад 8. Скільки розв'язків має рівняння?
показникове рівняння
Розв'язання: Схема обчислень дещо мудрувата, але зрозуміла усім.
Переносимо один доданок за знак рівності і зводимо частини рівняння до спільної основи

перетворення показників
дробове рівняння
Показникові рівняння звели до дробового. Перш за все виписуємо обмеження на ОДЗ – виключаємо нулі знаменника
ОДЗ
Переходимо до перехресного множення
рівняння
розкриваємо дужки і групуємо подібні доданки
перетворення
розв'язок показникового рівняння
Отримали, що рівняння має один розв'язок. Ось і все на сьогодні, якщо Вам відповіді допомогли - ставте "лайк", ні - шукайте, що Вам потрібно.

На сайті безліч доступних роз'язків, які стануть на допомогу в підготовці до іспитів, можливо декому замінять репетитора. Надсилайте відсутні алгоритми обчислень, при нагоді рекомендуйте цікаві схеми одногрупникам та знайомим.