В програмі за 10 клас з математики приклади на складання рівнянь багатьом школярам даються важко. Подібна ситуація виникає при вступі у ВУЗи, тестуванні і т. д. Нижче наведені розв'язки поширених прикладів на складання рівнянь. Вони взяті із "Тестових завдань для вступників" виданих у 2001 році Волинським державними університетом імені Лесі Українки. Завдання досі залишаються актуальними і розкривають широкий клас різних методик та підходів до обчислень.

Приклади на складання рівнянь

Приклад 1. За течією річки моторний човен пройшов за 7 годин таку відстань, яку він проходив за 8 годин, рухаючись проти течії. Знайти швидкість течії річки, якщо швидкість катера в стоячій воді дорівнює 30 км/год.
Розв'язання:
Скласти рівняння до задачі не так і складно. Позначимо швидкість течії через V, швидкість човна рівна 30 км /год. Можна скласти одне рівняння з умови
(30+V)*7=(30-V)*8,
а можна шлях позначити через S і отримати 2 рівняння
(30+V)*7=S;
(30-V)*8=S.

В кожному з випадків доведеться розв'язувати однакове рівняння. Розкриємо дужки і згрупуємо подібні доданки
7*V+8*V=30*8-30*7;
15*V=30; V=30/15=2 (км/год)
.
Відповідь: швидкість катера 2 км/год.

 

Приклад 2. Байдарка та моторний човен відпливають одночасно назустріч один одному вздовж берега водосховища з пунктів А і В, відстань між якими 60 км, і зустрічаються через 1 год 30 хв з моменту відплиття. Якщо вони продовжать рух із незмінними швидкостями, то човен прибуде до А на 4 год. раніше від байдарки. Знайти швидкість байдарки (у км/год).
Розв'язання:
Досить цікава задача на складання рівняння. Маємо 3 невідомих – швидкість човна V1, байдарки V2, t – час руху байдарки. Проаналізуємо умову і складемо рівняння. В першій умові головним є не те, що вони пливуть назустріч, а те що відстань у 60 км вони проходять за 1 год 30 хв (1,5 годин). Перше рівняння таке
(V1+V2)*1,5=60.
Далі багато з Вас записали б рівняння
V1*(t-4)=V2*t.
Воно правильне, але маємо два рівняння і три невідомі. Необхідна додаткова у мова, яка б пов'язувала невідомі. Головне не час, за який вони пропливають, а фіксована відстань у 60 км. Човен пропливає її швидше за байдарку на 4 години, з цієї умови маємо 2 рівняння
V1*(t-4)=60;
V2*t=60.

Якщо розв'язати систему рівнянь, то отримаємо 2 набори розв'язків
V1=-20;
V2=60; t=1
та V1=30;
V2=10;
t=6.

Легко здогадатися, що тільки другий є вірним. Звідси швидкість байдарки рівна 6 км/год.

 

Приклад 3. Товарний поїзд затримався у дорозі на 12 хвилин, а потім на відстані 60 км. надолужив згаяний час, збільшивши швидкість на 15 км/год. Знайти початкову швидкість поїзда (в км/год).
Розв'язання:
Введемо такі позначення: V – швидкість поїзда; t – час руху. Складемо рівняння руху поїзда
V*t=60;
(V+15)(t-12/60)=0.

З 1 рівняння виразимо час і підставимо у друге
t=60/V;
(V+15)( 60/V -12/60)=0.

Дане рівняння розписуємо і зводимо до квадратного рівняння виду
V2-45*V-900=0.
Коренями рівняння є
V=-15; V=60.
Від'ємною швидкість бути не може, отже швидкість поїзда рівна 60 км/год.
Відповідь: швидкість поїзда 60 км/год.

Приклад 4. Від пристані пліт відправився за течією річки. Через 5 годин 20 хвилин за плотом з тої самої пристані відправився моторний човен, який наздогнав пліт, пройшовши 20 км. Яка швидкість плоту (у км/год), якщо швидкість моторного човна більша від швидкості плоту на 12км/год?
Розв'язання:
Позначимо V – швидкість плоту, t – час за який пліт проплив 20 км. За умовою складаємо рівняння до задачі
V*t=20;
(V+12)(t-5-20/60)=20.

Нас цікавить швидкість плоту, тому з 1 рівняння виразимо час і підставимо у друге
t=20/V;
(V+12)( 20/V -5-20/60)=20
.
Дане рівняння можна спростити до квадратного
V2+12*V-45=0.
Розв'язками квадратного рівняння є значення
V=3;V =-15.
Отже, швидкість плоту рівна 3 км/год.

Розв'язування рівнянь в Maple

Завдання легко обчислити з допомогою математичного пакету Мейпл. Все що нам потрібно це короткий код
, який наведено нижче.

> restart;

Розкладаємо в ряд (команда series) кінцеве рівняння, щоб знати, до якого квадратного рівняння воно зведеться.
> s:=series(((V+12)*(20/V-5-20/60)-20)*V*3/16,V,3);
s:=45-12V-V2

Розв'язуємо квадратне рівняння командою solve

> solve(s,V);

-15, 3

Можна командою solve розв'язати початкову систему рівнянь і зразу знайти пару невідомих. Для цього рівняння і невідомі записують у фігурних дужках

> solve({V*t=20,(V+12)*(t-5-20/60)=20},{V,t});
В результаті отримаємо

{V=-15,t=-4/3}, {V=3,t=20/3}

Вивчайте математичні пакети, різноманітні програми, які полегшують школярам та студентам навчання, економлять час.

 

Приклад 5. Суми квадратів цифр двоцифрового числа дорівнює 13. Якщо від цього двоцифрового числа відняти 9, то дістанемо число, записане тими самими цифрами у зворотному порядку. Знайти дане число.
Розв'язання: Позначимо число через
ab=10*a+b.
Складемо 2 рівняння для визначення числа
a*a+b*b=13;
10*a+b-9=10*b-a
, що рівносильне запису ab-9=ba.
З другого рівняння виразимо одне з чисел
9*a=9*b+9;
a=(b+1)
та підставимо у перше з рівнянь
(b+1)^2+ b*b=13.
Рівняння спроститься до квадратного
2*b^2+2*b-12=0;
коренями якого за теоремою Вієта є 2; -3.

Перша цифра рівна a=b+1=3, а невідоме число - 32.

Дане завдання набагато швидше можна вирішити через логічні міркування. Сума квадратів цифр рівна 13, легко підібрати 9+4=13, отже можливі варіанти шуканих чисел 23 і 32. Виконуємо перевірку:
23-9=16 - не є записом цифр 23 в зворотньому порядку, а от
32-9=23 підходить як розв'язок завдання.
Там де треба скласти рівняння – складайте, а на тестах та при вступі використовуйте всі наявні знання та спрощення.
Відповідь: 32.

 

Приклад 6. Моторний човен пройшов відстань між двома пунктами по річці туди і назад без зупинки за 6 годин 24 хвилини. Визначити (в км/год) швидкість течії річки, якщо відстань між пунктами 60 км і швидкість човна в стоячій воді дорівнює 20 км/год.
Розв'язання: Невідомою в задачі є швидкість течії V. Оскільки ми не знаємо скільки часу плив в одну і другу сторону човен, то потрібно скласти рівняння на час. Відомо, що час рівний шляху розділеному на швидкість
V=S/V.

Рівняння часу руху човна матиме вигляд
60/(20+V)+60/(20-V)=6+24/60.
В знаменниках стоїть швидкість човна за течією (20+V) і проти неї (20-V). Дане рівняння зведенням до спільного знаменника зводиться до дробового рівняння в чисельнику якого у Вас повинно фігурувати рівняння вигляду
32/5*V2-160=0.
Розв'язки рівняння рівні
V=-5;
V=5.
В такий швидкий спосіб знайшли швидкість течії річки і вона рівна 5 км/год.

 

Приклад 7. Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 12. Якщо до цього числа додати 36, то отримаємо число, записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку. Знайти це число.
Розв'язання:
Подамо число у вигляді
ab=10*a+b.

За умовою отримаємо два рівняння для знаходження числа
a+b=12;
10*a+b+36=10*b+a.
9*a+36=9*b.

З першого рівняння виразимо будь-яке з чисел через інше і підставимо у друге рівняння
a=12-b;
9*(12-b)+36=9*b;
108+36=9*b+9*b=18*b;
18*b=144; b=144/18=8.

Одне з чисел ми знайшли, обчислюємо і друге
a=12-b=12-8=4.
Отже шукане число рівне 48.

 

Приклад 8. Змішали 50%-й розчин соляної кислоти з 10% -ним і одержали 500г 20%-го розчину. Скільки грамів 10%-го розчину було взято?
Розв'язання:
Зараз познайомитеся з новим типом задач на складання рівнянь у відсотках. Схема обчислень проста і сподобається багатьом.
При змішуванні розчинів необхідно скласти 2 рівняння на вміст 100% концентрату та води.
Роз'яснимо все в деталях. Нехай маємо два розчини – 50% А, та 10% - B.
Обчислимо скільки соляної кислоти в 20% розчині
500*20/100=100
грам.
Значить решта (500-100)=400 г – вода.
Складемо два рівняння, перше на вміст соляної кислоти в розчинах, друге – на вміст води
A*50/100+B*10/100=100;
A*(100-50)/100+B*(100-10)/100=400.
Після виконання ділення отримаємо
0,5*A+0,1*B=100;
0,5*A+0,9*B=300.

Від другого рівняння віднімемо перше
0,8*B=300;
B=300/0,8=375
.
Відповідь: кількість 10% розчину рівна 375 грам.

 

Приклад 9. Змішали 50%-й розчин соляної кислоти з 10%-ним і одержали 500г 20%-го розчину. Скільки грамів 50%-го розчину було взято?
Розв'язання:
Завдання за умовою повністю повторює попереднє, тільки знайти треба перший розчин. Від всього розчину віднімемо знайдений у попередньому завданні другий
500-375=125 (грам).
Відповідь: потрібно взяти 125 грам 50%-го розчину.

Подібних задач на складання рівнянь на сайті та інтернеті чимало. Всі вони вчать Вас логіки побудови рівнянь та знання базових формул руху, роботи, пропорцій. Вибирайте для себе прості шляхи у навчанні та не зациклюйтесь на тому, чого не можете зрозуміти.

Переглянути схожі матеріали: