Задачі на квадратне рівняння вивчаються і в шкільній програмі і у ВУЗах. Під ними розуміють рівняння вигляду a*x2 + b*x + c = 0, де x- змінна, a,b,c – константи; a<>0. Завдання полягає у відшуканні коренів рівняння.

Геометричний зміст квадратного рівняння

Графіком функції, яка представлена квадратним рівнянням є парабола. Розв'язки (корені) квадратного рівняння – це точки перетину параболи з віссю абсцис (Ox). З цього випливає, що є три можливі випадки:

1) парабола не має точок перетину з віссю абсцис. Це означає, що вона знаходиться верхній площині з вітками вгору або нижній з вітками вниз. В таких випадках квадратне рівняння не має дійсних коренів (має два комплексні корені).

квадратне рівняння, функція, графік

2) парабола має одну точку перетину з віссю Ох. Таку точку називають вершиною параболи, а квадратне рівняння в ній набуває свого мінімального або максимального значення. В цьому випадку квадратне рівняння має один дійсний корінь (або два однакових кореня).

квадратне рівняння, функція, графік

3) Останній випадок на практиці цікавий найбільше – існує дві точки перетину параболи з віссю абсцис. Це означає, що існує два дійсних кореня рівняння.

квадратне рівняння, функція, графік

На основі аналізу коефіцієнтів при степенях змінних можна зробити цікаві висновки про розміщення параболи.

1) Якщо коефіцієнт а більший нуля то парабола направлена вітками вгору, якщо від'ємний — вітки параболи направлені вниз.

2) Якщо коефіцієнт b більший нуля то вершина параболи лежить в лівій півплощині, якщо приймає від'ємне значення – то в правій.

Виведення формули для розв'язування квадратного рівняння

Перенесемо константу із квадратного рівняння
квадратне рівняння, формула
за знак рівності, отримаємо вираз

Помножимо обидві частини на

Щоб отримати зліва повний квадрат додамо в обох частинах b2 та здійснимо перетворення

Звідси знаходимо

Формула дискримінанту та коренів квадратного рівняння

Дискримінантом називають значення підкореневого виразу

дискримінант, формула

Якщо він додатній D>0 то рівняння має два дійсні корені, які обчислюють за формулою

дійсні корені рівняння, формула

При нульовому дискримінанті D=0 квадратне рівняння має один розв'язок (два співпадаючих корені), які легко отримати з наведеної вище формули при D=0

D=0, корені

При від'ємному дискримінанті D<0 рівняння дійсних коренів немає. Однак ісують розв'язки квадратного рівняння в комплексній площині, і їх значення обчислюють за формулою

комплексні корені рівняння, формула

Теорема Вієта

Розглянемо два корені квадратного рівняння x1,x2 та побудуємо на їх основі квадратне рівняння.

З запису легко слідує сама теорема Вієта: якщо маємо квадратне рівняння вигляду

то сума його коренів рівна коефіцієнту p, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів рівняння рівний вільному доданку q. Формулами сказане вище матиме такий запис

теорема Вієта, формула

Якщо, в класичному рівнянні константа а відмінна від нуля, то потрібно поділити на неї все рівняння, а потім застосовувати теорему Вієта.

Розклад квадратного рівняння на множники

Нехай поставлено завдання: розкласти квадратне рівняння на множники. Для його виконання спочатку розв'язуємо рівняння (знаходимо корені). Далі, знайдені корені підставляємо в формулу розкладу квадратного рівняння

розклад квадратного рівняння на множники, формула

На цьому завдання буде розв'язаним.

Задачі на квадратне рівняння

Задача 1. Знайти корені квадратного рівняння

x2-26x+120=0.

Розв'язання: Запишемо коефіцієнти та підставимо в формулу дискримінанту

дискримінант, обчислення

Корінь з даного значення рівний 14, його легко знайти з калькулятором, або запам'ятати при частому використанні, однак для зручності, вкінці статті я Вам дам список квадратів чисел, які найчастіше можуть зустрічатися при подібних задачах.

Знайдене значення підставляємо в формулу коренів

корені рівняння, розрахунок

та отримуємо

 

Задача 2. Розв'язати рівняння 2x2+x-3=0.

Розв'язання: Маємо повне квадратне рівняння, виписуємо коефіцієнти та знаходимо дискримінант

дискримінант, знаходження

За відомими формулами знаходимо корені квадратного рівняння

корені рівняння, обчислення

 

Задача 3. Розв'язати рівняння

9x2-12x+4=0.

Розв'язання: Маємо повне квадратне рівняння. Визначаємо дискримінант

дискримінант, знаходження

Отримали випадок коли корені співпадають. Знаходимо їх значення за формулою

корені рівняння, знаходження

 

Задача 4. Розв'язати квадратне рівняння

x^2+x-6=0.

Розв'язання:У випадках коли маємо малі коефіцієнти при х доцільно застосовувати теорему Вієта. За її умовою отримуємо два рівняння

З другої умови маємо, що добуток має бути рівний -6. Це означає, що один з коренів від'ємний. Маємо наступну можливу пару розв'язків {-3;2}, {3;-2}. З врахуванням першої умови другу пару розв'язків відкидаємо.

Корені рівняння рівні

 

Задача 5. Знайти довжину сторін прямокутника, якщо його периметр 18 см, а площа 77 см^2.

Розв'язання: Півпериметр прямокутника дорівнює сумі сусідніх сторін. Позначимо х –більшу сторону, тоді 18-x менша його сторона. Площа прямокутника дорівнює добутку цих довжин:

х(18-х)=77 або х2-18х+77=0.

Знайдемо дискримінант рівняння

дискримінант, визначення

Обчислюємо корені рівняння

корені рівняння, знаходження

Якщо х=11, то 18-х=7, навпаки теж справедливо (якщо х=7 , то 21-х=9).

 

Задача 6. Розкласти квадратне 10x^2-11x+3=0 рівняння на множники.

Розв'язання: Обчислимо корені рівняння, для цього знаходимо дискримінант

дискримінант, розрахунок

Підставляємо знайдене значення у формулу коренів та обчислюємо

Застосовуємо формулу розкладу квадратного рівняння за коренями

Розкривши дужки отримаємо тотожність.

Квадратне рівняння з параметром

Приклад 1. При яких значеннях параметра а, рівняння (а-3)х^2+(3-а)х-1/4=0 має один корінь?

Розв'язання: Прямою підстановкою значення а=3 бачимо, що воно розв'язків немає. Далі скористаємося тим, що при нульовому дискримінанті рівняння має один корінь кратності 2. Випишемо дискримінант

дискримінант, обчислення

спростимо його та прирівняємо до нуля

Отримали квадратне рівняння відносно параметра а, розв'язок якого легко отримати за теоремою Вієта. Сума коренів рівна 7, а їх добуток 12. Простим перебором встановлюємо, що числа 3,4 будуть коренями рівняння. Оскільки розв'язок а=3 ми вже відкинули на початку обчислень, то єдиним правильним буде – а=4. Таким чином, при а=4 рівняння має один корінь.

 

Приклад 2. При яких значеннях параметра а, рівняння а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0 має більше одного кореня?

Розв'язання: Розглянемо спочатку особливі точки, ними будуть значення а=0 і а=-3. При а=0 рівняння спроститься до вигляду 6х-9=0; х=3/2 і матиме один корінь. При а= -3 дістанемо тотожність 0=0.

Обчислимо дискримінант

дискримінант, обчислення

та знайдемо значення а при яких він додатній

З першої умови отримаємо а>3. Для другої знаходимо дискримінант і корені рівняння

дискримінант, обчислення

корені рівняння, знаходження

Визначимо проміжки де функція приймає додатні значення. Підстановкою точки а=0 отримаємо 3>0. Отже, за межами проміжку (-3;1/3) функція від'ємна. Не варто забувати про точку а=0, яку слід виключити, оскільки в ній вихідне рівняння має один корінь.

В результаті отримаємо два інтервали, які задовільняють умови задачі


Подібних завдань на практиці буде чимало, постарайтеся розібратися із вимогами самостійно та не забувайте умови, які взаємовиключають одна одну.