Рівняння, які можна звести до дробу f(x)/g(x)=0 називається дробово раціональним рівнянням.
Розв'язання дробово раціональних рівнянь є не надто складним завданням, якщо Ви знаєте методику, а вона достатньо проста.
Якщо рівняння має кілька доданків, то переносимо їх по одну сторону знаку рівності і зводимо до спільного знаменника. В результаті отримаємо дробову функцію f(x)/g(x), яка рівна нулю
дробово раціональне рівняння
Наступним кроком знаходимо корені чисельника. Відкидаємо серед них ті, що не належать області допустимих значень (нулі знаменника) і записуємо правильну відповідь.
В теорії все досить просто, проте на практиці і в школярів, і в студентів виникають проблеми при зведені до спільного знаменника, відшуканні коренів і т.д. Для ознайомлення з розв'язуванням розглянемо декілька поширених завдань.

Приклади дробово раціональних рівнянь

Приклад 1. Знайти корені рівняння
дробово раціональне рівняння, приклад

Розв'язання: За методикою переносимо доданки та зводимо до спільного знаменника
обчислення
обчислення
Прирівнюємо чисельник і знаменник до нуля і знаходимо корені. Перше рівняння можемо розв'язати за теоремою Вієта
квадратне рівняння
Друге розкладаємо на множники
розклад на множники
Якщо від коренів чисельника відкинути нулі знаменника, то отримаємо лише один розв'язок x=-7.
Увага: Завжди перевіряйте чи співпадають корені чисельника і знаменника. Якщо такі є, то не враховуйте їх у відповіді.

Відповідь: х=-7.

 

Приклад 2. Розв'язати рівняння
дробово раціональне рівняння, приклад

Розв'язання: Дано дробове раціональне рівняння. Знаходимо спочатку корені чисельника, для цього розв'язуємо квадратне рівняння
розклад на множники
Обчислюємо дискримінант
дискримінант
та корені рівняння
корені рівняння
Отримали три нулі чисельника .
Квадратне рівняння в знаменнику простіше і можемо розв'язати за теоремою Вієта
теорема Вієта
Чисельник і знаменник не мають спільних коренів тому всі три знайдені значення розв'язки будуть розв'язками.

 

Приклад 3. Знайти корені рівняння
дробово раціональне рівняння, приклад

Розв'язання: Переносимо доданок за знак рівності
обчислення
і зводимо до спільного знаменника
дробово раціональне рівняння
Розкриваємо в чисельнику дужки та зводимо до квадратного рівняння
дробово раціональне рівняння
дробово раціональне рівняння
Отримане дробово раціональне рівняння еквівалентне системі двох рівнянь
система двох рівнянь
Корені першого обчислюємо через дискримінант
дискримінант
корені рівняння
Нулі другого знаходимо без проблем

Виключаємо із розв'язків чисельника значення і отримаємо.

Відповідь: х=3.

Задачі на рух

Задача 4. Вертоліт пролетів за вітром відстань 120 км і в зворотньому напрямку повернувся назад, витративши на весь шлях 6 год. Знайдіть швидкість вітру, якщо швидкість в штиль становить 45 км/год.

Розв'язання:
Позначимо швидкість вітру через х км/год. Тоді за вітром швидкість вертольоту становитиме (45+х) км/год, і в зворотньому напрямку (45-х) км/год. За умовою задачі вертоліт потратив 6 години на дорогу.
Поділивши відстань на швидкість та просумувавши отримаємо час
дробово раціональне рівняння, приклад
Отримали дробово раціональне рівняння, схема розв'язування якого неодноразово повторювалася
дробово раціональне рівняння
дробово раціональне рівняння
система рівнянь
Розв'язком другого рівняння будуть значення x=-45; x=45.
Корені чисельника знайдемо після спрощень
квадратне рівняння
корені рівняння
Із фізичних міркувань перший розв'язок відкидаємо.

Відповідь: швидкість вітру 15 км/год.

 

Задачі на спільну роботу

Задача 2. Два лісоруби, працюючи разом, виконали норму вирубки за 4 дні. Скільки днів потрібно на виконання цієї роботи кожному лісорубу окремо, якщо першому для вирубки норми потрібно на 6 днів менше, ніж другому?

Розв'язання: Нехай перший лісоруб виконує норму за х днів. Тоді другому необхідно (х+6) днів.
Це означає, що за один день перший виконає , а друга частину всієї норми. За умовою виконують норму за 4 дні, тобто обоє в день можуть виконати норми.
Складаємо і розв'язуємо рівняння
дробово раціональне рівняння, приклад

Дане дробово раціональне рівняння еквівалентне системі двох рівнянь
система рівнянь
дискримінант
корені рівняння

Один розв'язок не відповідає фізичній суті завдання. Час другого лісоруба
х+6=6+6=12 (днів)

Відповідь: Роботу перший лісоруб виконає за 6 днів, а другий за 12.

 

Подібних дробово раціональних рівнянь можна розглянути безліч, схема їх розв'язання незмінна. В теоретичних задачах правильно складайте рівняння і не помиляйтеся при зведенні до спільного знаменника. Все решта зводиться до розв'язування переважно лінійих рівнянь або квадратних.