Математика

Квадратне рівняння. Обчислення дискримінанту та коренів

2015-07-07T20:38:31+03:00

Задачі на квадратне рівняння вивчаються і в шкільній програмі і у ВУЗах. Під ними розуміють рівняння вигляду a*x² + b*x + c = 0, де x- змінна, a,b,c – константи; a<>0. Завдання полягає у відшуканні коренів рівняння.

Геометричний зміст квадратного рівняння

Графіком функції, яка представлена квадратним рівнянням є парабола. Розв'язки (корені) квадратного рівняння – це точки перетину параболи з віссю абсцис (Ox). З цього випливає, що є три можливі випадки:

1) парабола не має точок перетину з віссю абсцис. Це означає, що вона знаходиться верхній площині з вітками вгору або нижній з вітками вниз. В таких випадках квадратне рівняння не має дійсних коренів (має два комплексні корені).

2) парабола має одну точку перетину з віссю Ох. Таку точку називають вершиною параболи, а квадратне рівняння в ній набуває свого мінімального або максимального значення. В цьому випадку квадратне рівняння має один дійсний корінь (або два однакових кореня).

3) Останній випадок на практиці цікавий найбільше – існує дві точки перетину параболи з віссю абсцис. Це означає, що існує два дійсних кореня рівняння.

На основі аналізу коефіцієнтів при степенях змінних можна зробити цікаві висновки про розміщення параболи.

1) Якщо коефіцієнт а більший нуля то парабола направлена вітками вгору, якщо від'ємний — вітки параболи направлені вниз.

2) Якщо коефіцієнт b більший нуля то вершина параболи лежить в лівій півплощині, якщо приймає від'ємне значення – то в правій.

Виведення формули для розв'язування квадратного рівняння

Перенесемо константу із квадратного рівняння

за знак рівності, отримаємо вираз

Помножимо обидві частини на 4а

Щоб отримати зліва повний квадрат додамо в обох частинах b² та здійснимо перетворення

Звідси знаходимо

Формула дискримінанту та коренів квадратного рівняння

Дискримінантом називають значення підкореневого виразу

Якщо він додатній D>0 то рівняння має два дійсні корені, які обчислюють за формулою

При нульовому дискримінанті D=0 квадратне рівняння має один розв'язок (два співпадаючих корені), які легко отримати з наведеної вище формули при D=0

При від'ємному дискримінанті D<0 рівняння дійсних коренів немає. Однак ісують розв'язки квадратного рівняння в комплексній площині, і їх значення обчислюють за формулою

Теорема Вієта

Розглянемо два корені квадратного рівняння x₁,x₂ та побудуємо на їх основі квадратне рівняння.

З запису легко слідує сама теорема Вієта: якщо маємо квадратне рівняння вигляду

то сума його коренів рівна коефіцієнту p, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів рівняння рівний вільному доданку q. Формулами сказане вище матиме такий запис

Якщо, в класичному рівнянні константа а відмінна від нуля, то потрібно поділити на неї все рівняння, а потім застосовувати теорему Вієта.

Розклад квадратного рівняння на множники

Нехай поставлено завдання: розкласти квадратне рівняння на множники. Для його виконання спочатку розв'язуємо рівняння (знаходимо корені). Далі, знайдені корені підставляємо в формулу розкладу квадратного рівняння

На цьому завдання буде розв'язаним.

Задачі на квадратне рівняння

Задача 1. Знайти корені квадратного рівняння

x²-26x+120=0.

Розв'язання: Запишемо коефіцієнти та підставимо в формулу дискримінанту

Корінь з даного значення рівний 14, його легко знайти з калькулятором, або запам'ятати при частому використанні, однак для зручності, вкінці статті я Вам дам список квадратів чисел, які найчастіше можуть зустрічатися при подібних задачах.

Знайдене значення підставляємо в формулу коренів

та отримуємо

Задача 2. Розв'язати рівняння 2x²+x-3=0.

Розв'язання: Маємо повне квадратне рівняння, виписуємо коефіцієнти та знаходимо дискримінант

За відомими формулами знаходимо корені квадратного рівняння

Задача 3. Розв'язати рівняння

9x²-12x+4=0.

Розв'язання: Маємо повне квадратне рівняння. Визначаємо дискримінант

Отримали випадок коли корені співпадають. Знаходимо їх значення за формулою

Задача 4. Розв'язати квадратне рівняння

x^2+x-6=0.

Розв'язання:У випадках коли маємо малі коефіцієнти при х доцільно застосовувати теорему Вієта. За її умовою отримуємо два рівняння

З другої умови маємо, що добуток має бути рівний -6. Це означає, що один з коренів від'ємний. Маємо наступну можливу пару розв'язків {-3;2}, {3;-2}. З врахуванням першої умови другу пару розв'язків відкидаємо.

Корені рівняння рівні

Задача 5. Знайти довжину сторін прямокутника, якщо його периметр 18 см, а площа 77 см^2.

Розв'язання: Півпериметр прямокутника дорівнює сумі сусідніх сторін. Позначимо х –більшу сторону, тоді 18-x менша його сторона. Площа прямокутника дорівнює добутку цих довжин:

х(18-х)=77 або х²-18х+77=0.

Знайдемо дискримінант рівняння

Обчислюємо корені рівняння

Якщо х=11, то 18-х=7, навпаки теж справедливо (якщо х=7 , то 21-х=9).

Задача 6. Розкласти квадратне 10x^2-11x+3=0 рівняння на множники.

Розв'язання: Обчислимо корені рівняння, для цього знаходимо дискримінант

Підставляємо знайдене значення у формулу коренів та обчислюємо

Застосовуємо формулу розкладу квадратного рівняння за коренями

Розкривши дужки отримаємо тотожність.

Квадратне рівняння з параметром

Приклад 1. При яких значеннях параметра а, рівняння (а-3)х^2+(3-а)х-1/4=0 має один корінь?

Розв'язання: Прямою підстановкою значення а=3 бачимо, що воно розв'язків немає. Далі скористаємося тим, що при нульовому дискримінанті рівняння має один корінь кратності 2. Випишемо дискримінант

спростимо його та прирівняємо до нуля

Отримали квадратне рівняння відносно параметра а, розв'язок якого легко отримати за теоремою Вієта. Сума коренів рівна 7, а їх добуток 12. Простим перебором встановлюємо, що числа 3,4 будуть коренями рівняння. Оскільки розв'язок а=3 ми вже відкинули на початку обчислень, то єдиним правильним буде – а=4. Таким чином, при а=4 рівняння має один корінь.

Приклад 2. При яких значеннях параметра а, рівняння а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0 має більше одного кореня?

Розв'язання: Розглянемо спочатку особливі точки, ними будуть значення а=0 і а=-3. При а=0 рівняння спроститься до вигляду 6х-9=0; х=3/2 і матиме один корінь. При а= -3 дістанемо тотожність 0=0.

Обчислимо дискримінант

та знайдемо значення а при яких він додатній

З першої умови отримаємо а>3. Для другої знаходимо дискримінант і корені рівняння

Визначимо проміжки де функція приймає додатні значення. Підстановкою точки а=0 отримаємо 3>0. Отже, за межами проміжку (-3;1/3) функція від'ємна. Не варто забувати про точку а=0, яку слід виключити, оскільки в ній вихідне рівняння має один корінь.

В результаті отримаємо два інтервали, які задовільняють умови задачі

Подібних завдань на практиці буде чимало, постарайтеся розібратися із вимогами самостійно та не забувайте умови, які взаємовиключають одна одну.

Дискримінант рівняння. Формула Вієта

2015-07-07T20:37:05+03:00

Дискримінант, як і квадратні рівняння починають вивчати у 8 клаcі в курсі алгебри. Розв'язати квадратне рівняння можна через дискримінант і за допомогою теореми Вієта. Методика вивчення квадратних рівнянь, як і формули дискримінанта досить невдало прищеплюються школярам, як і багато чого в теперішній освіті. Тому проходять шкільні роки, навчання в 9-11 класі заміняє "вища освіта" і всі знову шукають – "Як розв'язати квадратне рівняння?", "Як знайти корені рівняння?", "Як знайти дискримінант?" і ...

Формула дискримінанту

Дискримінант D квадратного рівняння a*x² + bx + c=0 рівний D=b² – 4*a*c.
Корені (розв'язки) квадратного рівняння залежать від знаку дискримінанту (D) :
D>0 – рівняння має 2 різних дійсних коренів;
D=0 - рівняння має 1 корінь (2 одинакові корені):

D<0 – не має дійсних коренів (в шкільній теорії). У ВУЗ-ах вивчають комплексні числа і вже на множині комплексних чисел рівняння з від'ємним дискримінантом має два комплексні корені.

Формула для обчислення дискримінанту досить проста, тому безліч сайтів пропонують онлайн калькулятор дискримінанту. Ми з такого роду скриптами ще не розібралися, тому хто знає, як це реалізувати просимо писати на пошту [email protected].

Загальна формула для знаходження коренів квадратного рівняння:

Корені рівняння знаходимо за формулою
Якщо коефіцієнт при змінній в квадраті парний то доцільно обчислювати не дискримінант, а четверту його частину
В таких випадках корені рівняння знаходять за формулою

Другий спосіб знаходження коренів – це Теорема Вієта.

Формулюється теорема не тільки для квадратних рівнянь, а й для многочленів. Це Ви можете почитати у Вікіпедій чи других електронних ресурсах. Однак для спрощення розглянемо ту її частину, що стосується приведених квадратних рівнянь , тобто рівнянь вигляду (a=1)

Суть формул Вієта полягає в тому, що сума коренів рівняння рівна коефіцієнту при змінній, взятому з протилежним знаком. Добуток коренів рівняння рівний вільному члену. Формулами теорема Вієта має запис.
Виведення формули Вієта достатньо просто. Розпишемо квадратне рівняння через прості множники
Як бачите, все геніальне є одночасно простим. Найефективніше використовувати формулу Вієта коли різниця коренів за модулем або різниця модулів коренів рівна 1, 2. Наприклад, наступні рівняння за теоремою Вієта мають корені

До 4 рівняння аналіз має виглядати наступним чином. Добуток коренів рівняння рівний 6, тобто коренями можуть бути значення (1; 6) та (2;3) або пари з протилежним знаком. Сума коренів рівна 7 (коефіцієнту при змінній з протилежним знаком). Звідси робимо висновок, що розв'язки квадратного рівняння рівні x=2; x=3.
Найпростіше підбирати корені рівняння серед дільників вільного члена, корегуючи їх знак з метою виконання формул Вієта. На початку це здається важко зробити, але з практикою на ряді квадратних рівнянь така методика виявиться ефективнішою за обчислення дискримінанту та знаходження коренів квадратного рівняння класичним способом.

Як бачите шкільна теорія вивчення дискримінанту та способів знаходження розв'язків рівняння позбавлена практичного змісту – "Для чого школярам квадратне рівняння?", "Який фізичний зміст дискримінанту?".

Давайте спробуємо розібратися, що описує дискримінант?

В курсі алгебри вивчають функції, схеми дослідження функції та побудови графіку функцій. І серед усіх функцій важливе місце займає парабола, рівняння якої можна записати у вигляді
Так от фізичний зміст квадратного рівняння – це нулі параболи, тобто точки перетину графіка функції з віссю Ox
Властивості парабол, які описані нижче попрошу Вас запам'ятати. Прийде час здавати екзамени, тести, чи вступні іспити і Ви будете вдячні за довідковий матеріал. Знак при змінній в квадраті відповідає чи будуть вітки параболи на графіку іти вгору (a>0),

чи парабола вітками донизу (a<0).

Вершина параболи лежить посередині між коренями

Фізичний зміст дискримінанту:

Якщо дискримінант більший нуля (D>0) парабола має дві точки перетину з віссю Ox.
Якщо дискримінант рівний нулю (D=0) то парабола у вершині дотикається до осі абсцис.

І останній випадок, коли дискримінант менший нуля (D<0) – графік параболи належить площині над віссю абсцис (вітки параболи вгору), або графік повністю під віссю абсцис (вітки параболи опущені донизу).

Неповніні квадратні рівняння

Якщо в квадратному рівнянні коефіцієнт при вільному члені або змінній рівні нулю то такі рівняння називають неповними. Корені рівнянь знаходимо за простішими формулами
Графік функцій завжди симетричний відносно початку координат. Варто зазначити, що рівняння має дійсні корені лише тоді коли в рівнянні чергуються знаки при коефіцієнтах "+, -" або "-, +".

Неповне квадратне рівняння вигляду

одним з коренів завжди має точку x=0.
В такому контексті розв'язування квадратних рівнянь стає потрібним, а при побудові графіків парабол, ще й візуально цікавим проведенням часу, особливо якщо йде мова про шкільні заняття з аналізу графіку функцій, чи вивченні теми парабол. Тому в 8, 9 класі рекомендуємо ці дві теми в алгебрі поєднувати.
Якщо матеріал допоміг Вам в навчанні, просьба поділитися з друзями посиланням на статтю !

Арифметична прогресія. Формули та приклади

2015-07-07T20:35:37+03:00

Арифметичною прогресією називають послідовність чисел (членів прогресії)

в якій кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталий доданок, який ще називають кроком або різницею прогресії.

Таким чином, задаючи крок прогресії та її перший член можна знайти будь-який її елемент за формулою

Властивості арифметичної прогресії

1) Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого номера є середнім арифметичним від попереднього та наступного члена прогресії

Обернене твердження також вірне. Якщо середнє арифметичне сусідніх непарних (парних) членів прогресії рівне члену, який стоїть між ними то дана послідовність чисел є арифметичною прогресією. За цим твердженням дуже просто перевірити будь-яку послідовність.

Також за властивістю арифметичної прогресії, наведену вище формулу можна узагальнити до наступної

В цьому легко переконатися, якщо розписати доданки справа від знака рівності

Її часто застосовують на практиці для спрощення обчислень в задачах.

2) Суму n перших членів арифметичної прогресії обчислюють за формулою

Запам'ятайте добре формулу суми арифметичної прогресії, вона незамінна при обчисленнях та досить часто зустрічається в простих життєвих ситуаціях.

3) Якщо потрібно знайти не всю суму, а частину послідовності починаючи з k-го її члена то в нагоді Вам стане наступна формула суми

4) Практичний інтерес має відшукання суми n членів арифметичної прогресії починаючи з k-го номера. Для суми використовуйте формулу

На цьому теоретичний матеріал добігає кінця і переходимо до розв'язування поширених на практиці задач на прогресію.

Приклад 1. Знайти сороковий член арифметичної прогресії 4; 7; ...

Розв'язання: Згідно умови маємо
Визначимо крок прогресії

За відомою формулою знаходимо

На цьому обчислення закінчено.

Приклад 2. Арифметична прогресія задана третім та сьомим її членом . Знайти перший член прогресії та суму десяти.

Розв'язання:Розпишемо задані елементи прогресії за формулами

Від другого рівняння віднімемо перше, в результаті знайдемо крок прогресії

Знайдене значення підставляємо в любе із рівнянь для відшукання першого члена арифметичної прогресії

Обчислюємо суму перших десяти членів прогресії

Всі шукані величини знайдені.

Приклад 3. Арифметичну прогресію задано знаменником d=5 та одним з її членів . Знайти перший член прогресії , суму 50 її членів починаючи з 50 та суму 100 перших.

Розв'язання:Запишемо формулу сотого елемента прогресії у вигляді

Можемо знайти перший член прогресії

На основі першого знаходимо 50 член прогресії

Знаходимо часткову суму прогресії

та суму перших 100 членів

Якщо попередньої формули не знати, то її результат можна отримати віднявши від суми ста членів прогресії суму 49.
Догадайтесь, чому так?

Приклад 4. Знайти число членів арифметичної прогресії, якщо:
а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Розв'язання:Запишемо рівняння через перший член та крок прогресії та визначимо їх

Отримані значення підставляємо у формулу суми для визначення кількості членів у сумі

Виконуємо спрощення формули

та розв'язуємо квадратне рівняння

Із знайдених двох значень умові задачі підходить лише число 8. Таким чином, сума перших восьми членів прогресії рівна 111.

Приклад 5. Розв'язати рівняння
1+3+5+...+х=307.

Розв'язання: Дане рівняння є сумою арифметичної прогресії. Випишемо перший її член та знайдемо різницю прогресії

Знайдені величини підставимо в формулу суми прогресії для відшукання кількості доданків

Як і в попередньому завданні, виконуємо спрощення та розв'яжемо квадратне рівняння

Вибираємо більше із двох значень. Маємо, що сума 18 членів прогресії з заданими величинами а1=1, d=2 рівна Sn=307.
На цьому знайомство із арифметичними прогресіями завершується. В книжках ви знайдете багато подібних задач та нових, які не були розглянуті. Наведеного матеріалу повинно вистачити Вам з головою, щоб розібратися і розв'язати задачі самостійно. Якщо ж ні то звертайтеся і ми Вам допоможемо з обчисленнями.

Переглянути схожі матеріали:

Сума арифметичної прогресії. 9 клас

2015-07-07T20:23:21+03:00

Приклади на суму арифметичної прогресії розв'язують у школі в 9 класі в курсі алгебри. Задачі бувають різного рівня складності, тому почнемо від простих до складних. Розглянемо завдання із поширених на пракиці збірників з математики.

Приклади підібрано із збірника для 9 класів з алгебри.
Автори: Василь Кравчук, Марія Підручна, Галина Янченко.

Приклад 1(№690). Дев'ятий член арифметичної прогресії дорівнює 23. Чому дорівнює сума восьмого і десятого членів цієї прогресії?
Розв'язання. Запишемо формули восьмого і дев'ятого члена арифметичної прогресії через 9 її член
a[10]=a[9]+d;
a[9]=a[8]+d;
a[8]=a[9]-d.
Знайдемо суму двох членів прогресії
a[8]+ a[10]= a[9]-d +a[9]+d=2*a[9].
Виконуємо обчислення
S=2*23=46.
Запам'ятайте, що кожен член арифметичної прогресії може бути визначений як середнє арифметичне сусідніх
Правило діє незалежно від того наскільки вони віддалені від нього
Формули досить часто застосовують в обчисленнях, тому постарайтеся їх вивчити.

Приклад 2 (694). Перший і четвертий члени арифметичної прогресії відповідно дорівнюють 3,8 і 7,5. Знайдіть суму перших чотирьох членів цієї прогресії.
Розв'язання. Подібно до попереднього прикладу виразимо другий член арифметичної прогресії через 1, а 3 через 4.
Формулами це матиме запис
a[2]=a[1]+d; a[3]=a[4]-d.
Легко побачити, що при їх сумування різниця прогресії спрощується.
a[2]+a[3]= a[1] +a[4].
Нам же потрібно знайти суму перших чотирьох членів прогресії. Залишилося додати 1 і 4 член прогресії
S=2(a[1] +a[4])=2*(3.8+7.5)=2*11.3=22.6.
Як бачите сумувати арифметичну прогресію не так і складно.

Приклад 3 (№ 698). П'ятий член арифметичної прогресії дорівнює 2,5. Знайдіть суму перших дев'яти членів цієї прогресії.
Розв'язання. Для знаходження суми арифметичної прогресії відомо дві формули, одна з яких передбачає наявність значень крайніх членів суми прогресії та їх кількість

Оскільки 5 член прогресії рівновіддалений від 1 і 9 її члена на 4 індекси, то півсуму крайніх членів прогресії можемо виразити через 5 член залежністю

Повертаємося до формули суми та обчислюємо
S=a[5]*9=2,5*9=22,5.
Сума 9 членів прогресії рівна 22,5.

Приклад 4(№ 736). Знайдіть суму перших сорока натуральних чисел.
Розв'язання. Нагадаємо, що натуральні числа це ті, що використовуються при лічбі 1, 2, 3, 40. Тут вигадувати нічого не потрібно, лише скористатися формулою суми для обчислень
S=(1+40)/2*40=820.
Сума 40 перших натуральних чисел рівна 820.

Приклад 5(№ 740). Знайдіть суму непарних натуральних чисел, не більших від 81.
Розв'язання. Непарні натуральні числа утворюють послідовність 1, 3, 5,...
Крок прогресії рівний d=3-1=2.
Знайдемо кількість членiв у сумі
n=(81-1)/2=40.
Знаходимо суму прогресії за формулою
S=(80+1)/2*40=1620.

Приклад 6(№ 741). Знайдіть суму парних натуральних чисел, не більших від 100.
Розв'язання. Перший член прогресії рівний a[1]=2.
Номер останнього знаходимо діленням
n=100/2=50.
Далі підставляємо в формулу суми та обчислюємо
S=(2+100)*50/2=2550.
Задачі подібного типу зустрічаються в алгебрі досить часто, тому розглянемо їх більше.

Приклад 7 (№ 742). Знайдіть суму натуральних чисел, кратних 7 і не більших від 145.
Розв'язання. Числа кратні 7 означає, що різниця прогресії рівна d=7.
Обчислимо кiлькiсть таких чисел діленням
145/7=20 цілих і 5 остачі.
Тоді останній доданок суми рівний
a[20]=20*7=140.
Обчислюємо суму арифметичної прогресії
S=(7+140)*20/2=1470.

Приклад 8 (№ 748). Знайдіть суму перших десяти членів арифметичної прогресії, п'ятий і восьмий члени якої відповідно дорівнюють 12 і 27.
Розв'язання. Складемо рівняння з умови
a[1]+4*d=12;
a[1]+7*d=27.
Від другого рівняння віднімемо перше та знайдемо крок прогресії
3*d=27-12=15;
d=15/3=5.
Обчислюємо 1 та 10 член прогресії
a[1]+4*5=12;
a[1]=12-20=-8.
a[10]=-8+9*5=37.
Знаходимо суму арифметичної прогресії
S=(-8+37)*20/2=290.

Приклад 9 (№ 749). Дев'ятий член арифметичної прогресії більший від четвертого утричі, а їх сума дорівнює 20. Знайдіть суму перших восьми членів прогресії.
Розв'язання. Запишемо рівняння з умови
a[9] =3*a[3];
a[3]+a[9]=20.
З першого рівняння 9 член прогресії підставимо у 2
a[3]+3*a[3]=20;
4*a[3]=20;
a[3]=20/4=5.
Тоді a[9]=20-5=15.
Розпишемо їх через перший член прогресії та крок та знайдемо їх
a[1]+2*d=5;
a[1]+8*d=15.
6*d=15-5=10;
d=10/6=5/3.
Обчислюємо 1 та 8 член прогресії
a[1] =5-2*5/3=5/3;
a[8]=a[9]-d=15-5/3.
В такому вигляді і залишаємо, при обчисленні суми доданок спроститься
S=(5/3+15-5/3)*8/2=60.
Як бачите, обчислення не є складними. Головне знати властивості арифметичної прогресії.

Приклад 10 (№ 751). Знайдіть суму перших двадцяти натуральних двоцифрових чисел, які при діленні на 3 дають в остачі 1.
Розв'язання. Такі приклади для школярів 9 класів не повинні бути складними. Обчислимо 1 член прогресії
a[1] =3+1=4.
Крок прогресії рівний d=3.
Знайдемо 20 член прогресії
a[20]=4+(20-1)*3=61.
Маємо всі дані, щоб знайти суму прогресії
S=(4+61)*20/2=650.

Приклад 11 (№ 753). Знайдіть суму членів арифметичної прогресії з дев'ятого до двадцятого включно, якщо перший член прогресії дорівнює 5, а різниця — –2.
Розв'язання. Є два способи розв'язати завдання:

скористатися готовою формулою

яку мало хто після закінчення школи запам'ятає.
Скористатися універсальною формулою прогресії і потрібну суму знайти через різницю суми 20 членів і 8.

Почнемо з другої методики, для цього обчислимо 8 та 20 член прогресії
a[8]=5-2*(8-1)=-9.
a[20]=5-2*19=-33.
Знаходимо суми прогресії
S[8]=(5-9)*8/2=-16;
S[20]=(5-33)*20/2=-280.
Їх різниця і буде шуканою сумою
S=-280-(-16)=-264.
Для перевірки формули часткової суми прогресії знайдемо 9 її член
a[9]=5-2*8=-11
S=(-11-33)(20-9+1)/2=-264.
За формулою знайти суму прогресії можна за коротший час, однак не завжди готова формула є під рукою. Тому наведену схему знаходження часткової суми прогресії для себе запам'ятайте.

Розглянемо типові приклади на прогресії із збірника для 9 класів з алгебри. Автори: Бевз Г.П., Бевз В.Г. 2009 р.

Приклад 12 (№ 888). Стародавня арабська задача. Знайдіть 20-й член і суму двадцяти членів арифметичної прогресії 3, 7, 11, 15, ...
Розв'язання. Обчислимо крок прогресії
d=7-3=4.
Знаходимо 12 та 20 член прогресії
a[20]=3+19*4=79.
a[12]=3+11*4=47.
Виконуємо обчислення суми
S=(3+47)*12/2=300.
На цьому арабську задачу розв'язано.

Приклад 13 (№ 889). Знайдіть суму 60 перших натуральних чисел.
Розв'язання. Без проміжних викладок виконуємо обчислення
S=(1+60)*60/2=1830.
Сума перших 60 натуральних чисел рівна 1830.

Приклад 14 (№ 894). Людям, які копають криницю, обіцяно за перший метр заплатити 30 крб., а за кожний наступний – на 20 крб. Більше, ніж за попередній метр. Скільки вони одержать за копання 12-метрової криниці.
Розв'язання. Маємо практичну задачу на прогресію, перший член якої рівний a[1]=30 , крок прогресії d=20.
Обчислимо 12 член прогресії
a[12]=30+20*(12-1)=250.
Знаходимо суму прогресії
S=(30+250)*12/2=1680 (крб.)
За копання криниці робітникам заплатять 1680 карбованців.

Приклад 15 (№ 919). Тринадцятий член арифметичної прогресії дорівнює 3. Знайдіть суму її перших 25 членів.
Розв'язання. Всі хто часто має справу з подібними завданнями хід обчислень бачать з умови. Тут потрібно виразити 1 і 25 член прогресії через 13. За теоремою про середнє арифметичне отримаємо
a[13]=(a[1]+a[25])/2=3.
Така ж півсума фігурує у формулі суми прогресії, тому отримаємо
S=3*25=75.
Тепер Ви знаєте, як обчислити суму прогресії в подібних завданнях.

Приклади на прогресію із збірника з алгебри для 9 класу. Автори: Мальований Ю.І., Литвиненко Г.М., Возняк Г.М. 2009 р.

Приклад 16 (№ 568). Починаючи з якого номера в арифметичній прогресії {x[n]} сума більша 143, якщо x[2]=5, x[5]=11?
Розв'язання. Складемо рівняння для визначення різниці прогресії та 1 члена
x[1]+d=5;
x[1]+4*d=11.
3*d=11-5=6;
d=6/3=2.
x[1]=5-d=3.
Складемо нерівність для обчислення номера останнього доданка суми
(2*3+2*(n-1))*n/2>143.
n^2-2*n-143>0.
Отримали квадратичну нерівність. Нулі знаходимо через корені квадратного рівняння. Після обчислень, які тут не наводимо, отримаємо значення n=-11; n=13.
Перше значення відкидаємо, друге є розв'язком, але не відповіддю до завдання. При n=13 сума рівна 143, а нам потрібна строга нерівність тому беремо наступний номер. Відповідь: потрібно 14 членів прогресії.

Приклад 17 (№ 571). Сума n перших членів арифметичної прогресії обчислюється за формулою S[n]=n^2+3*n. Знайдіть 6 член цієї прогресії.
Розв'язання. Розпишемо загальну формулу суми прогресії
З умови знаходимо перший член прогресії та крок
d/2=1; d=2;
(2*a[1]-d)/2=3;
a[1]=(3*2+2)/2=4.
Тепер можемо знайти 6 член прогресії.
a[6]=4+5*2=14.
Добре запам'ятайте наведену формулу. На її основі можна розв'язати чимало задач на послідовності.
Мали за мету привести кілька прикладів із збірника Мерзляка, Полонського, Якора, але на жаль в інтернеті відсутня повна версія підручника.
В загальному для початку наведених прикладів Вам вистачить, щоб розв'язати 95 % прикладів на суму прогресії.

Знайти член арифметичної прогресії a[n]

2019-11-26T21:05:51+02:00

Формула n-го члена арифметичної прогресії (a_n) має вигляд
При розв'язуванні прикладів з алгебри на прогресію за 9,10 її, а також різницю та суму дуже добре вивчають.
З неї маємо ряд висновків:
d=(a_n-a₁)/(n-1); a_n+1=a_n+d.
Можемо ще привести дві формули на суму арифметичної прогресії

Як тільки навчитеся добре розв'язувати приклади з допомогою наведених формул, Вам легше буде вчити геометричну прогресію та все, що з нею пов'язано. Також ЗНО тести, контрольні роботи та будь-які оцінювання з теми прогресій для Вас будуть неважкими.

Далі починаємо цикл з семи статей на арифметичну та геометричну прогресії, які знайомлять Вас з можливими практичними завданнями та алгоритмами знаходження розв'язків. Всього розв'язано 47 завдань, тому, повірте, є з чого повчитися!

Приклад 21.1 Знайти тридцять перший член арифметичної прогресії 3; 5,5; 8; …

А	Б	В	Г	Д
85, 5	83	80,5	78	73,5

Обчислення: Маємо a₁=3, a₂=5 і a₃=8 - члени арифметичної прогресії (надалі для спрощення а/п);
d=a₂-a₁=5,5-3=2,5 - різниця а/п;
n=31 - номер a₃₁ (31-го члену).
Формула n-го члена арифметичної прогресії має вигляд
Обчислюємо 31 член прогресії
a₃₁=3+2,5(31-1)=3+2,5*30=3+75=78.
Відповідь: 78 – Г.

Приклад 21.3 Ламана містить 14 відрізків. Кожний її відрізок, починаючи з другого, на 2 см більший від попереднього.
Знайти довжину найменшого з відрізків, якщо найбільший з них дорівнює 29 см.

А	Б	В	Г	Д
0,5	0,2	0,4	-0,4	0,3

Обчислення: Перепозначимо послідовність, нехай перший член прогресії тепер рівний 29 см.
Кожен наступний на 2 менший, оскільки тепер рухаємося до початку.
Потрібно знайти n=14 -номер в новій прогресії;
d=-2 - різниця а/п; a₁=29.
Підставляємо в формулу та обчислюємо

Довжина найменшого з відрізків 3 см.
Якщо не міняти порядку відрізків, а аналізувати так як написано в умові то отримали б рівняння
с₁₄=с₁+2(14-1)=29, з якого просто виразити с₁
с₁=29-2•13=3.
Обидва варіанти є правильними, тож вибирайте який Вам до вподоби.
Відповідь: 3 см – В.

Приклад 21.4 В арифметичній прогресії a₁=3, a₇₅=299. Знайти a₅₀.

А	Б	В	Г	Д
90	99	190	199	203

Обчислення: Використаємо формулу n-го члена:
a_n=a₁+d(n-1),
299=3+d(75-1),
d•74=296, звідси d=4 - різниця а/п.
Обчислюємо п'ятдесятий член арифметичної прогресії
a₅₀=a₁+d(50-1)=3+4•49=199.
Відповідь: 199 – Г.

ЗНО 2019. Завдання 27. За якого від'ємного значення x значення виразів x^2-4,3-5x та 2-3x будуть послідовними членами арифметичної прогресії?
Розв'язування: Оскільки значення виразів x^2-4, 3-5x та 2-3x є послідовними членами арифметичної прогресії, то

і

де d - різниця арифметичної прогресії, отже прирівняємо праві частини обох рівностей та знайдемо x за умови, що x<0:

Рівняння що отримали, розкривали з допомогою дискримінанту.
Отримали x=-8 - від'ємне значення x, за якого значення виразів x²-4, 3-5x та 2-3x будуть послідовними членами арифметичної прогресії (60; 43; 26).
Відповідь: -8.

Приклад 21.13 (a_n) - арифметична прогресія, в якої a₁=9, a₁₀=27. Знайти a₁₅.

Обчислення: Відомо a₁=9, a₁₀=27.
Для знаходження різниці прогресії d застосуємо формулу a_n=a₁+d(n-1).
27=9+d(10-1), 9d=18, звідси d=2 - різниця а/п.
Далі за цією ж формулою обчислюємо 15-й член арифметичної прогресії
a₁₅=9+2(15-1)=37
Відповідь: 37 – Д.

Приклад 21.15 Сума восьмого і двадцятого членів арифметичної прогресії дорівнює 48.
Знайти чотирнадцятий член прогресії.

А	Б	В	Г	Д
96	24	26	22	не можна визначити

Обчислення:Записуємо умову a₈+a₂₀=48.
Потрібно з неї якось виразити a₁₄=a₁+d(14-1)=a₁+13d=24
Застосуємо формулу n-го члена прогресії a_n=a₁+d(n-1) та виразимо суму через a₁₄

Звідси бачимо, що a₁+13d=48:2=24 , отже a₁₄=24.
Відповідь: 24 – Б.

Приклад 21.25 Установити відповідність між арифметичними прогресіями (a_n) (1–4), заданими двома членами, та формулами n-го члена (А–Д).

Обчислення: З кожної а/п (a_n) необхідно знайти її перший член a₁ та різницю d за допомогою формули:
a_n=a₁+d(n-1).
Переходимо до обчислень:
1) a₁=2, a₃=12

звідси d=5.

Отже, a_n=-3+5n. 1 - Д.

2) a₂=-11, a₅=-20

-3d=9, звідси d=-3 і a₁=-11+3=-8.

2 - В.

3) a₃=18, a₇=38

-2a₁=-16, звідси a₁=8 і d=(18-8):2=5.

3 - Б.

4) a₄=-23, a₆=-33

2d=-10, звідси d=-5 і a₁=-23-3•(-5)=-8.

4 - Г.
Формули часто розкажуть більше, ніж текстові пояснення до них.
Тому вчіться їх аналізувати, а також красиво оформляти розв'язки прикладів.

Приклад 21.26 Установити відповідність між арифметичними прогресіями (a_n) (1–4), заданими двома членами, та їх десятим членом (А–Д).
Обчислення: З кожної а/п (a_n) необхідно знайти її різницю d за допомогою формули:
a_n=a₁+d(n-1).
Повторно виводимо формулу d=(a_n-a₁)/(n-1) та застосовуємо до заданих варіантів тесту:
1) a₁=-9, a₃=-23

1 - Д.

2) a₁=-2, a₇=16

2 - А.

3) a₁=-5, a₁₃=-29

3 - Г.

4) a₁=-1, a₁₄=51

4 - Б.

Дальше розглянемо ще одне тестове завдання,обчислення якого потребує добрих знань математики.

Приклад 21.34 Знайти найбільший від'ємний член арифметичної прогресії (a_n), у якої a₁=101, d=-7.
Обчислення: Для обчислення найбільшого від'ємного члена арифметичної прогресії (a_n) використаємо формулу a_n=a₁+d(n-1).
Знайдемо такий номер n заданої а/п, за якого всі наступні члени а/п будуть від'ємні a_n<0.
З цієї умови складемо та розв'яжемо нерівність:

Отже, при n=16 отримаємо перший (а отже найбільший) від'ємний член заданої а/п:

Відповідь: -4.

Якщо все зрозуміло і не маєте запитань, то переходьте до наступних уроків на арифметичну та геометричну прогресії.

Обчислити різницю (крок) арифметичної прогресії

2019-11-26T21:12:28+02:00

Всі формули різниці (кроку) арифметичної прогресії мають вигляд
d=a₂-a₁;
d=(a_n-a₁)/(n-1).
Ще кілька формул можна отримати з формули суми арифметичної прогресії

але виведення Ви побачити лише в тих завдання, де без цього не обійтися.
Загалом мало цікавих завдань на різницю прогресії є як на практичних в 9,10 класах, так і ЗНО тестах.
Далі розв'язані приклади на прогресію із ЗНО підготовки, в яких в умові потрібно знайти різницю прогресії.

Приклад 21.2 Арифметичну прогресію (a_n) задано формулою n-го члена a_n=4-8n.
Знайти різницю цієї прогресії.

А	Б	В	Г	Д
8	4	-2	-4	-8

Обчислення: Маємо a_n=4-8n - загальний член арифметичної прогресії (а/п), який заданий формулою,
тоді a₁=4-8•1=-4 - перший член а/п;
a₂=4-8•2=-12 - другий член а/п;
d=a₂-a₁=-12-(-4)=-12+4=-8 - різниця арифметичної прогресії.
Відповідь: -8 – Д.

Приклад 21.2a В арифметичній прогресії (a_n) a₁=-2,7; a₁₆=1,8.
Знайти різницю прогресії.

А	Б	В	Г	Д
0,5	0,2	0,4	-0,4	0,3

Обчислення: Використаємо формулу n-го члена:
a_n=a₁+d(n-1).
Підставляємо значення з умови та розв'язуємо
1,8=-2,7+d(16-1),
15d=4,5;
звідси d=0,3 - різниця арифметичної прогресії.
Відповідь: 0,3 – Д.

ЗНО 2020. Завдання 27. В арифметичній прогресії (a_n) відомо, що a₂-a₅=7,8.
1. Визначте різницю d цієї прогресії.
2. Визначте перший член a₁ цієї прогресії, якщо її третій член a₃=-1,8.
Розв'язування: За формулою a_n=a1+d(n-1) розпишемо загальний член a_n арифметичної прогресії (АП):

1. Обчислюємо різницю прогресії

d=-2,6 - шукана різниця АП.

2. Розпишемо третій член АП через перший

a1=3,4 - перший член (a_n).
Відповідь: -2,6; 3,4.

Приклад 21.24 Установити відповідність між арифметичними прогресіями (a_n) (1–4), заданими двома членами, та їх різницями (А–Д).

Обчислення: Формула для обчислення різниці (кроку) прогресії досить проста:
d=a₂-a₁=3-(-1)=4, 1 - Г.
У випадку великих номерів можемо вивести узагальнену формулу різниці прогресії:
a_n=a₁+d(n-1), звідси d=(a_n-a₁)/(n-1).

Отриману залежність використовуємо для розрахунку решти пунктів тестового завдання
2 - Д.
3 - Б.
4 - А.

Думаю такі тести вирішити Вам під силу. А тепер уявіть, що на ЗНО тестах чи контрольній Вам доведеться самостійно вирішувати наступне завдання.

Приклад 21.38 Знайти найбільше значення x, за яких числа x-1, 2x-1 і x²-5, записані в указаному порядку, утворюють арифметичну прогресію.
Обчислення: Оскільки числа x-1, 2x-1, x²-5 утворюють арифметичну прогресію, то (2x-1)-(x-1)=d і (x^2-5)-(2x-1)=d - різниця а/п.
Прирівнявши обидва вирази, знайдемо x:

x₁=-1; x₂=4.
Робимо висновок, що x=4 - найбільше значення, за яких числа x-1, 2x-1, x^2-5, записані в указаному порядку, утворюють арифметичну прогресію.
Відповідь: 4.

Думаю з ходом обчислень Ви розібралися, а от чи самі змогли додуматися та правильно розв'язати, залишається відкритим питанням.
Поступово даний урок наповнимо цікавими задачами, а зараз переходьте до обчислення суми арифметичної прогресії та прикладів на геометричну прогресію.

Знайти суму арифметичної прогресії

2019-11-26T21:39:27+02:00

Переходимо до обчислень суми арифметичної прогресії, а для цього Вам потрібно знати наступні формули

тут a₁, a_n та n члени арифметичної прогресії; d - різниця (крок) прогресії.
В 9, 10 класах школи Ви обчислювали прості завдання, тут Вам пропонуємо відповіді ЗНО тестів, а вірніше приклади, які гіпотетично можуть Вас чекати при зовнішньому незалежному оцінюванні. Всі решта із 45 прикладів розв'язані або на попередніх уроках, а бо чекають Вас дальше при вивченні геометричної прогресії та всього, що з нею пов'язано.

Приклад 21.5 В арифметичній прогресії тридцять членів.
Знайти суму всіх членів прогресії, якщо перший її член дорівнює -12, а останній – 75.

А	Б	В	Г	Д
1305	945	2610	835	1890

Обчислення: Маємо а/п, у якої n=30, a₁=-12, a₃₀=75.
Тоді її суму знаходиться за формулою:
Маємо всі дані для обчислень, тож з легкістю розраховуємо

Відповідь: 945 – Б.

Приклад 21.6 Знайти суму перших тринадцяти членів арифметичної прогресії -8; -5; -2; …

А	Б	В	Г	Д
140	120	130	240	260

Обчислення: Запишемо, що нам відомо з арифметичної прогресії а/м
n=13, a₁=-8, a₂=-5, a₃=-2, звідси знаходимо крок прогресії
d=a₂-a₁=-5-(-8)=3.
Суму арифметичної прогресії знаходимо за формулою:
Обчислюємо

Відповідь: 130 – В.

Приклад 21.7 Третій і сьомий члени арифметичної прогресії відповідно дорівнюють 11 і 23.
Знайти суму 10-ти перших членів цієї прогресії.

А	Б	В	Г	Д
85	35	185	175	370

Обчислення: Маємо а/п, у якої n=10, a₃=11, a₇=23.
Використаємо формулу a_n=a₁+d(n-1) для складання системи рівнянь, з якої знайдемо перший член та різницю прогресії:

Такі системи рівнянь Ви повинні навчитися швидко складати та розв'язувати. Це одні з найпростіших завдань на прогресії, важчі розв'язуються через квадратні рівняння та виведення складних формул.
4d=12, d=3 - різниця а/п.
a₁=11-2d=11-2•3=5 - перший член а/п.
Обчислюємо суму 10-ти перших членів а/п

Відповідь: 185 – В.

Приклад 21.14 В арифметичній прогресії (a_n) a₈=6. Знайти S₁₅.

Обчислення: Відомий лише один член арифметичної прогресії a₈=6.
Використаємо формулу a_n=a₁+d(n-1) та розпишемо
a₈=a₁+d(8-1)=a₁+7d=6.
Для обчислення S₁₅ застосуємо відому формулу:

в якій в чисельнику виразимо вираз, лінійний до a₈

Відповідь: 90 – Г.

Приклад 21.16 (an) - арифметична прогресія.
Знайти суму перших її десяти членів, якщо a₄=10 , a₇=19.

А	Б	В	Г	Д
145	290	155	0	310

Обчислення: В а/п відомі два члени a₄=10 і a₇=19.
З допомогою формули a_n=a₁+d(n-1) складаємо систему двох лінійних рівнянь для знаходження першого члена та різниці прогресії

Просумувавши рівняння, отримаємо 3d=9, звідси d=3 - різниця а/п.
З першого рівняння обчислюємо a₁+3•3=10, a₁=1 - перший член а/п.
Для обчислення суми S₁₀ скористаємося формулою:

Підстановкою отримаємо S₁₀=145.

Відповідь: 145 – А.

Приклад 21.17 Знайти суму натуральних чисел від 40 до 200 включно.

Обчислення: Оскільки маємо натуральні числа то між ними різниця рівна 1, а сама прогресія є арифметичною.
Визначаємо a₁=40, a_n=200 і n=200-40+1=161 - кількість членів а/п.
Для обчислення суми а/п використаємо формулу

Відповідь: 19320 – В.

Приклад 21.27 Установити відповідність між арифметичними прогресіями (a_n) (1–4), заданими двома членами, та формулами сум n перших її членів (А – Д).

Обчислення: Із загальної формули
a_n=a₁+d(n-1)
виражаємо крок прогресії d=(an-a1)/(n-1).
А далі обчислюємо суму арифметичної прогресії за формулою:

Ось такий простий алгоритм обчислень.
1) a₁=5, a₂=9
d=(9-5)/(2-1)=4, тоді

1 - Г.

2) a₁=-5, a₃=-13

2 - В.

3) a₁=7, a₄=13
d=(13-7)/(4-1), тоді

3 - А.

4) a₁=-11, a₅=-19

4 - Б.
Уважно перегляньте схему розв'язування прикладів.

Приклад 21.28 Установити відповідність між арифметичними прогресіями (a_n) (1–4), заданими двома членами, та сумами 10 перших її членів (А – Д).
Обчислення: Як і для попередніх завдань, з формули
a_n=a₁+d(n-1).
виражаємо крок прогресії d=(a_n-a₁)/(n-1).
А далі знаходимо суму а/п за формулою:

для n=10 вона матиме вигляд

Її застосовуємо в наступних розрахунках.
1) a₁=7, a₂=9
d=a₂-a₁=9-2=7, тоді
S₁₀=10•7+45•2=70+90=160.
1 - Д.

2) a₁=-7, a₂=-9
d=a₂-a₁=-9-(-7)=-2, тоді
S₁₀=10(-7)+45(-2)=-160.
2 - А.

3) a₁=-3, a₃=1

3 - Г.

4) a₁=3, a₃=-1

4 - Б.

Це класичні приклади, які Ви повинні вміти швидко розв'язувати. Далі наведемо ще два приклади складніших завдань на прогресію, які можуть розв'язати школярі та студенти з добрим аналітичним мисленням та підготовкою.

Приклад 21.37 Знайти суму S усіх трицифрових натуральних чисел, які діляться на число 7 без остачі.
У відповідь записати S:100.
Обчислення: Трицифрові числа, які діляться на число 7 (тобто кратні числу 7) утворюють арифметичну прогресію з різницею d=7.
a₁=105 - найменше трицифрове, яке ділиться на 7, a_n=994 - найбільше трицифрове, яке ділиться на 7.
Обчислимо кількість таких чисел за формулою:
a_n=a₁+d(n-1)
105+7(n-1)=994
105+7n-7=994
7n=896
n=128.
Загальна кількість трицифрових чисел, які кратні 7 дорівнює 128.
Суму цих чисел обчислюють за формулою а/п:

звідси S:100=703,36
Відповідь: 703,36.

Приклад 21.35a Знайти суму S членів арифметичної прогресії (a_n) з десятого до сорокового включно, якщо a₁=-10, d=2.
У відповідь записати S:100.
Обчислення: Маємо а/п, у якої a₁=-10, d=2.
Суму її перших n членів обчислюють за формулою:

Схема наступна: знаходимо суму 40 членів, потім 9 членів прогресії.
Їх різниця S₄₀-S₉ і буде сумою від 10 до 40, яку потрібно знайти в умові.
Спочатку знайдемо суму S₉ дев'яти перших членів заданої а/п (n=9):

Тепер знайдемо суму S₄₀ сорока перших членів заданої а/п (n=40):

Суму S членів арифметичної прогресії (a_n) з десятого до сорокового включно знайдемо як різницю суми перших сорока членів і перших дев'яти членів заданої а/п, отже

Відповідь: 11,78.

Думаю основні схеми обчислень та формули суми прогресії Ви запам'ятали. З базовими прикладами на суму прогресії ми Вас познайомили, хто бажає переглянути всі завдання із ЗНО тестів то переходіть в право на наступні уроки поки не побачити прикладів з номерами 44, 45,...
Далі переходимо до геометричних прогресій, обчислення знаменника, членів геометричної прогресії та сум.

Арифметична прогресія і трикутник

2015-07-29T14:17:38+03:00

Зібрані завдання на арифметичну прогресію містять в умові сторони трикутника, його площу, гіпотенузу. Таких прикладів на прогресії багато, тому ми спробували згрупувати їх за подібністю і типові розжувати Вам. Це допоможе засвоїти методику обчислень і надасть впевненості в подібних завданнях. Крім цього, завдання досить цікаві з практичної сторони, оскільки одночасно поєднують знання геометрії (трикутників) та арифметичної прогресії.

Задача 1. Сторони прямокутного трикутника утворюють арифметичну прогресію. Обчислити площу трикутника, якщо більший катет дорівнює 4.
Розв'язання. Площа прямокутного трикутника рівна половині добутку катетів. Позначимо сторони трикутника a-d, a, a+d.
З наведених позначень площа рівна

Знайдемо складові формули площі.
Більший катет рівний 4 означає
a =4.
Складаємо рівняння за теоремою Піфагора

Розкриємо дужки у рівнянні

Підставимо знайдене значення у формулу площі

Отже площа рівна 6 квадратних одиниць.

Задача 2. Сторони прямокутного трикутника утворюють арифметичну прогресію. Обчислити периметр трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 10.
Розв'язання. Знову потрібно знайти певну залежність, з якої визначити сторони. Позначимо відому сторону за а, тоді два катети будуть рівні a-d, a-2d.
Складаємо рівняння гіпотенузи через катети

Далі підставляємо значення гіпотенузи та розкриваємо дужки

Отримали квадратне рівняння для визначення різниці арифметичної прогресії. Обчислюємо дискримінант

та корені рівняння

Перше значення відкидаємо, оскільки при d=10 отримаємо не трикутник а пряму. При d=2 сторони трикутника приймуть значення
10;10-2=8; 8-2=6.
Знайдемо периметр трикутника
10+8+6=24.
Ось такі хитрі прийоми часом доводиться застосовувати, щоб отримати правильну відповідь.

Задача 3. Сторони прямокутного трикутника утворюють арифметичну прогресію. Обчислити менший його катет, якщо площа трикутника дорівнює 54.
Розв'язання. З попередніх завдань бачимо, що шуканий трикутник подібний до трикутника зі сторонами 3,4,5, тільки збільшений в декілька разів. Площа найменшого рівна
S=3*4/2=6.
Поділимо 54 на 6, щоб знайти пропорцію між трикутниками
54/6=9.
Отже кожну сторону трикутника треба збільшити на корінь з 9, тобто 3. Шуканий трикутник матиме сторони, 9,12, 15. Менший катет трикутника рівний 9.

Задача 4. Сторони прямокутного трикутника утворюють арифметичну прогресію. Обчислити його периметр, якщо площа трикутника дорівнює 96.
Розв'язання. Методика наступна. Сторони прямокутного трикутника, які рівні 3, 4, 5 утворюють арифметичну прогресію. Площа на їх базі рівна S=6 (з попереднього прикладу). Ділимо задану площу на базову
96/6=16=4*4.
Отже сторони потрібно збільшити у 4 рази, тобто вони рівні
12,16, 20.
Обчислюємо периметр трикутника
P=12+16+20=48.

Задача 5. Сторони прямокутного трикутника утворюють арифметичну прогресію. Обчислити його периметр, якщо медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює 5.
Розв'язання. Завдання і просте і складне одночасно. Суть знаходження розв'язку зводиться до знання однієї теореми, згідно якої для описаного навколо прямокутного трикутника гіпотенуза є діаметром. Відповідно, задана медіана є нічим іншим, як радіус кола. Звідси гіпотенуза рівна двом радіусам, тобто AC=2*5=10, а інші сторони рівні 2*3=6 і 2*4=8.
Знайти периметр трикутника після написаного вище легко
6+8+10=24.

Задача 6. Сторони трикутника, один із кутів якого 120°, утворюють арифметичну прогресію, другий член якої дорівнює 5. Обчислити площу, помножену на корінь з трьох .
Розв'язання. Приклад необхідно обчислювати за теоремою косинусів

Для початку позначимо сторони через формули прогресії. Найменша 5-d, друга – 5 за умовою, і найбільша 5+d. Підставляємо у рівняння

Враховуючи, що cos(120)=-1/2 рівняння спроститься до наступного

розкриваємо дужки та спрощуємо подібні доданки

При кроці d=2 менша сторона трикутника рівна 5-2=3. Знаходимо площу трикутника

Множимо площу на корінь з трьох

Отримали, що шукана величина рівна 11,25.

Задача 7. У трикутнику з кутом 120 градусів сторони утворюють арифметичну прогресію з різницею 1 см. Знайти периметр.
Розв'язання. Позначимо коротку сторону через х. Тоді середня рівна - (х+1), а довша - (х+2). Найбільша сторона (x+2) лежить навпроти кута 120 градусів. За теоремою косинусів складаємо рівняння (x+2)^2=x^2+(x+1)^2-2*x*(x+1)*cos(120);
(x+2)^2=x^2+(x+1)^2-x*(x+1);
x^2+4x+4=x^2+x^2+2x+1+x^2+x;
2x^2-x-3=0
Дискримінант рівний
D=1+4*3*2=25.
Обчислюємо найменшу сторону
x=(1+5)/4=1,5.
Другий корінь відкидаємо, оскільки він від'ємний x=-1.
Інші сторони відповідно рівні
1,5+1=2,5;
2,5+1=3,5.
Обчислюємо периметр трикутника
P=1,5+2,5+3,5=7,5.

Якщо зустрінете подібні завдання на арифметичну прогресію де в умові задані сторони трикутника, то постарайтеся поділитися з нами. Унікальні приклади будуть добавлені до цієї статті, а можливо оформлені в новій. Все залежить від отриманої кількості завдань та Вашого бажання співпрацювати.

Переглянути схожі матеріали:

Геометрична прогресія на прикладах

2015-07-07T20:33:51+03:00

Геометрична прогресія не менш важлива в математиці порівняно з арифметичною. Геометричною прогресією називають таку послідовність чисел , кожен наступний член якої, отримується множенням попереднього на стале число. Конcтанту, яка характеризує швидкість росту або спадання прогресії називають знаменником геометричної прогресії і позначають
Для повного задання геометричної прогресії окрім знаменника необхідна знати або визначити перший її член. Для додатних значень знаменника прогресія є монотонною послідовністю, причому якщо то послідовність чисел є монотонно спадною і при монотонно зростаючою. Випадок, коли знаменник рівний одиниці на практиці не розглядається, оскільки маємо послідовність однакових чисел, а їх сумування не важке

Загальний член геометричної прогресії знаходять за формулою

Суму n перших членів геометричної прогресії визначають за формулою

Розглянемо розв'язки класичних задач на геометричну прогресію. Почнемо для розуміння теорії з найпростіших.

Приклад 1. Перший член геометричної прогресії дорівнює 27, а її знаменник рівний 1/3.
Знайти шість перших членів геометричної прогресії.

Розв'язання: Запишемо умову задачі у вигляді

Для обчислень використовуємо формулу n-го члена геометричної прогресії

На її основі знаходимо невідомі члени ряду

Як можна переконатися, обчислення членів геометричної прогресії нескладні. Сама прогресія матиме вигляд

Приклад 2. Дано три перших члени геометричної прогресії : 6; -12; 24.
Знайти знаменник та сьомий її член.

Розв'язання: Обчислюємо знаменник геометричної прогресії виходячи з його означення

Отримали знакозмінну геометричну прогресію знаменник якої рівний -2. Сьомий член обчислюємо за формулою

На цьому задача розв'язана.

Приклад 3. У геометричній прогресії задано двома членами ряду .
Знайти десятий член прогресії.

Розв'язання: Запишемо задані значення через формули

За правилами потрібно було б знайти знаменник а потім шукати потрібне значення, але для десятого члена маємо

Таку ж формулу можна отримати на основі нехитрих маніпуляцій з вхідними даними. Поділимо шостий член ряду на другий, в результаті отримаємо

Якщо отримане значення помножити на шостий член, то отримаємо десятий

Таким чином для подібних задач за допомогою нескладних перетворень в швидкий спосіб можна отримати правильний розв'язок.

Приклад 4. Геометричну прогресію задано рекурентними формулами

Знайти знаменник геометричної прогресії та суму перших шести членів.

Розв'язання: Запишемо задані рівняння у вигляді формул

Та виразимо знаменник розділивши друге рівняння на перше

Знайдемо перший член прогресії з першого рівняння

Обчислимо наступні п'ять членів для знаходження суми геометричної прогресії

Оскільки знайти суму в даному випадку не складає великих зусиль то, оминаючи прості пояснення, зводимо всі доданки під спільний знаменник

В загальному випадку, при знаходженні суми знакозмінних рядів слід виділяти їх додатну частину та від'ємну, та знайти окремо їх суми за наведеними вище формулами. Далі знайдені значення додати.

Переглянути схожі матеріали:

Арифметична та геометрична прогресії. Приклади 2

2015-07-07T20:20:01+03:00

Арифметична та геометрична прогресія не буде для Вас складною темою після перегляду завдань із "Збірника задач для вступників. Математика" виданого Волинським державним університетом імені Лесі Українки у 2001 році. Уважно перегляньте відповіді 2 рівня складності та виберіть для себе найнеобхідніше. Якщо наведені приклади для Вас важкі, прочитайте для початку прості задачі на арифметичну та геометричну прогресію (1 рівень).

Група Б (рівень 2)

Приклад 1. В арифметичній прогресії а₈=12,4; a₂₃=4,7. Обчислити суму а₁₄+a₁₇.
Розв'язання: Представимо 14 член прогресії через 8 та 17 через 23. У формулах вони матимуть запис
a₁₄=а₈+6d;
a₁₇=a₂₃-6d.
Знаходимо шукану суму членів прогресії
a₁₄+a₁₇=a₈+6d+a₂₃-6d=a₈+a₂₃;
a₁₄+a₁₇=12,4+4,7=17,1.
Відповідь: сума рівна 17,1.

Приклад 2. У геометричній професії b₄=3; b₁₇=14,7. Обчислити добуток b₉*b₁₂.
Розв'язання: Враховуючи властивості геометричної прогресії, запишемо її 9 член через 4 та 12 через 17.

Бачимо, що при множенні знаменник геометричної прогресії спрощується

b₉*b₁₄=3*14,7=44,1.
Відповідь: добуток рівний 44,1.

Приклад 3. Сума n перших членів арифметичної прогресії виражається формулою S_n=3n²+6n. Обчислити a₆.
Розв'язання: Знайдемо перший член прогресії та суму двох
a₁=S₁=3+6=9;
a₁+a₂=2a₁+d=S₂=3*2^2+6*2=24.
З другого рівняння, враховуючи значення першого члену, знаходимо крок прогресії
d=24-2a₁=24-2*9=6.
За загальною Формулою Обчислюємо 6 член арифметичної прогресії
a₆=a₁+5d=9+5*6=39.
Відповідь: a₆=39.

Приклад 4. Сума n перших членів арифметичної прогресії виражається формулою S_n=n²+5n. Обчислити a₁₀.
Розв'язання: Завдання ідентичне попередньому, тільки цього разу спробуємо розв'язати за іншою методикою. Використаємо суму арифметичної прогресії у вигляді

Підставимо у цю формулу заданий запис суми та прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях n

Це і є важлива формула, з якої знаходимо перший член прогресії та різницю (крок)

d=2; a₁=5+d/2=6.
Обчислюємо 10 член прогресії
a₁₀=a₁+9d=6+9*2=24.
Відповідь: a₁₀=24.

Приклад 5. Обчислити суму всіх парних натуральних чисел до 100 включно.
Розв'язання: Перший елемент послідовності рівний a₁=2, останній рівний 100. Від 1 до 10 маємо 5 парних чисел. В сотні всього 10 десятків тобто 10*5 парних чисел. Якщо міркувати по іншому, то половина елементів до 100 парні, половина – непарні.
100/2=50 – кількість парних чисел.
Різниця прогресії рівна 2.
Далі підставляємо відомі значення в формулу та обчислюємо

Сума парних чисел до 100 рівна 2550.
Відповідь: S₅₀=2550.

Приклад 6. Обчислити суму всіх двоцифрових натуральних чисел.
Розв'язання: Номер члена прогресії буде рівний його значенню
a₁=1;… a₉₉=99.
Різниця прогресії рівна одиниці d=1. Знаходимо суму арифметичної прогресії за формулою

Сума рівна 4950.
Відповідь: S₉₉=4950.

Приклад 7. В арифметичній прогресії а₂+a₉=9, а₈+a₄=5. Обчислити різницю прогресії.
Розв'язання: Номер члена прогресії буде рівний його значенню
a₁=1;… a₉₉=99.
Різниця прогресії рівна одиниці d=1.
Знаходимо суму арифметичної прогресії за формулою

Сума рівна 4950.
Відповідь: S₉₉=4950.

Приклад 8. В арифметичній прогресії а₂+a₁₁=10, а₅+a₆=13. Обчислити різницю прогресії.
Розв'язання: Алгоритм розв'язування подібних прикладів наступний: Виражаємо члени прогресії через один, який має найменший порядковий номер
a₁₁=a₂+9d;
a₅=a₂+3d;
a₆=a₂+4d.
Підставляємо записи у суми членів прогресії
a₂+a₂+9d=2*a₂+9d=10;
a₂+3d+a₂+4d=2*a₂+7d=13.
Маємо два рівняння з двома невідомими. Для відшукання різниці прогресії від першого рівняння віднімаємо друге
9d-7d=2d=10-13;
2d=-3; d=-1,5.
Відповідь: d=-1,5.

Приклад 9. В арифметичній прогресії а₂+a₁₁=10, а₅+a₆=13. Обчислити a₁.
Розв'язання: Завдання аналогічне попередньому. Виражаємо, для зручності, усі члени суми через 1 номер
a₂=a₁+d; a₁₁=a₁+10d;
a₅=a₁+4d; a₆=a₁+5d.
Підставляємо у формули і складаємо рівняння
a₁+d+a₁+10d=2*a₁+11d=10;
a₁+4d+a₁+5d=2*a₁+9d=13.
Від першого рівняння віднімемо друге і знайдемо крок прогресії
11d-9d=2d=10-13=-3.
2d=-3; d=-1,5.
Знаючи крок прогресії, перший її елемент знаходимо з рівняння
2*a₁+9*(-1,5)=13; 2*a₁=13+13,5=26,5;
a₁=26,5/2=13,25.
Відповідь: a₁=13,25.

Приклад 10. Обчислити суму всіх двоцифрових натуральних чисел, які при діленні на 3 дають в остачі 2.
Розв'язання: Спочатку запишемо загальну формулу члена прогресії для даного завдання. Враховуючи умову матимемо залежність
a[n]=3*n+2.
Перше двоцифрове число, яке задовольняє умову це 11.
a[3]=3*3+2=11.
Останнє число рівне 98 і воно відповідає 32 номеру прогресії
a[32]=3*32+2=98.
Дальше маємо вибір із двох варіантів – шукати часткову суму прогресії або від повної суми відняти перших два елементи. Поступимо за другою схемою
a₁=3+2=5; a₂=3*2+2=8;

Від знайденої суми віднімаємо перші два елементи прогресії
S=1648-5-8=1635.
Відповідь: S=1635.

Приклад 11. Обчислити суму всіх двоцифрових натуральних чисел, які при діленні на 4 дають в остачі 1.
Розв'язання: Випишемо загальну формулу члена прогресії
a[n]=4*n+1.
Завжди поступайте таким чином для опису прогресії.
Перше потрібне число рівне 13. Його легко отримати перебравши кілька членів прогресії – 5; 9;13; ...
З останнім номером трохи більше пошуків, але також можна встановити, що це буде 97.
a[3]=13; a[24]=97.
Крок прогресії складає d=4.
Знаходимо суму двоцифрових натуральних чисел

Отримали в сумі 1210.
Відповідь: S=1210.

Приклад 12. Обчислити суму всіх непарних натуральних чисел, від 13до 81 включно.
Розв'язання: Запишемо формулу непарних натуральних чисел.
a[n]=2*n+1, n=0; 1; …
Зробимо заміну в прогресії так, щоб елемент під першим номером дорівнював 13.
a[n]=2*n+1=13.
Звідси n=6. Значить нова прогресія утворюється з попередньої додаванням до індекса n+1=6; n=5.
b[n]=2(n+5)+1.
Знайдемо під яким номером в прогресії іде число 81.
2*(n+5)+1=81;
n+5=(81-1)/2=40; n=35.
Отже b[35]=81.
Знаходимо суму перших 35 членів прогресії

Отже шукана сума дорівнює 1645.
Другий метод полягає у знаходженні суми прогресії a[n] з певного її номера. Для цього потрібно знати формулу, яку деколи немає можливості на контрольній чи тестах виводити з формули суми прогресії

Якщо Ви її знаєте, то в даному випадку потрібну знайти суму від 6 до 40 члена прогресії a[n]

І на "закуску" третій спосіб, який полягає у відніманні від повної суми прогресії суми її перших членів.

На цьому обчислення прикладу завершені.
Відповідь: S=1645.

Приклад 13. В арифметичній прогресії а₁₈=12,3; a₃₂=2,8. Обчислити а₂₁+a₂₉.
Розв'язання: Якщо Ви уважно переглянули відповіді до попередніх прикладів то знаєте як поступати у цьому завданні. Спершу виражаємо 21 і 29 член прогресії через 18 і 32
a₂₁=a₁₈+(21-18)d=a₁₈+3d;
a₂₉=a₃₂+(29-32)d=a₃₂-3d.
Легко бачити, що при сумуванні різниця прогресії пропадає
a₂₁+a₂₉=a₁₈+a₃₂=12,3+2,8=15,1.
Відповідь: сума рівна 15,1.

Приклад 14. Сума п перших членів арифметичної прогресії виражається формулою S_n=13n²+5n. Обчислити різницю прогресії.
Розв'язання: Подібне завдання розглядали під номером 3, 4. Запишемо загальну формулу суми прогресії та прирівняємо до заданої

Прирівняємо коефіцієнти при квадраті номера прогресії

Різниця прогресії рівна 26
Відповідь: d=26.

Приклад 15. Сума п перших членів арифметичної прогресії виражається формулою S_n=3n²+8n. Обчислити різницю прогресії.
Розв'язання: Тут не будемо Вас втомлювати і по аналогії з попереднім прикладом запишемо, що коефіцієнт при квадраті індексу рівний половині різниці прогресії
d/2=3; d=3*2=6.
Як просто знайти різницю прогресії.
Відповідь: d=6.

Приклад 16. У геометричній прогресії b_m-n=7,2; b_m=9,6. Обчислити b_m+n
Розв'язання: На вигляд завдання на геометричну прогресію складне, проте прості формули дозволяють обчислити все.
Запишемо bт через попередній відомий член прогресії b_m-n
b[m]=b[m-n]*q^n.
Таке саме виконаємо для b_m+n
b[m+n]= b[m]*q^n.
Залишилося з першого рівняння виразити знаменник прогресії
q^n= b[m]/b[m-n]
та підставити у друге

Підставимо задані значення у формулу

Шуканий член геометричної прогресії рівний 12,8.
Відповідь: b[m+n]=12,8.

Приклад 17. У геометричній прогресії b_m+n=6,3; b_m=4,2. Обчислити b_m-_n
Розв'язання: Цей приклад побудований за оберненим принципом до попереднього, хоча хід обчислень подібний. З аналізу значень геометричної прогресії слідує, що b_m-n повинно бути меншим від b_m=4,2. А з аналогії з попереднім виходить, що відповіддю буде квадрат меншого числа розділений на більше значення.
b_m-n= b_m* b_m/b_m+n
і зараз Ви в цьому переконаєтеся.
Запишемо наступні члени геометричної прогресії через попередні
b[m]=b[m-n]*q^n;
b[m+n]= b[m]*q^n.
З першої залежності знаходимо b_т-п, а з 2 – q^n.

Виконаємо відповідні розрахунки
b[m-n]=4,2*4,2/6,3=2,8.
Відповідь: b[m-n]=2,8.

Приклад 18. В арифметичній прогресії а_m+n=1,4; а_m-n=92,8. Обчислити а_m.
Розв'язання: Невідомий член арифметичної прогресії рівний середньому арифметичному сусідніх елементів. Оскільки а_m+n і а_m-n є рівновіддаленими елементами прогресії від а_m то його знаходимо за формулою

a[m]=(92,8+1,4)/2=47,1.
Відповідь: a[m]=47,1.

Приклад 19. В арифметичній прогресії а_m =8,75; а_m+n=13,8. Обчислити а_m-n.

Розв'язання: Виразимо наступні члени прогресії через попередні
a[m+n]=a[m]+n*d;
a[m]=a[m-n]+ n*d.
З першої формули знаходимо добуток n*d та підставимо у другу
n*d= a[m+n]-a[m];
a[m-n]=a[m]-n*d=2*a[m]-a[m+n].
Підставимо значення у формулу та знайдемо потрібний елемент прогресії
a[m-n]= 2*8,75-13,8=3,7.
Відповідь: a[m-n]=3,7.

Приклад 20. У геометричній прогресії b₂1*b₇=62,7. Обчислити b₁₉ якщо b₉=5,5.
Розв'язання: Завдання одне із складних, які розглянуті тут, однак на практиці розв'язати можливо. Запишемо всі старші члени геометричної прогресії через b₇

Запишемо добуток 21 і 7 члена геометричної прогресії та розписане b₉

Щоб отримати вираз для 19 члена прогресії потрібно добуток b₂₁*b₇ розділити на b₉

З досвідом Ви побачите, що в подібних прикладах залишається ділити одні значення на другі або множити, приклади де потрібно тягнути корені чи підносити до степені в геометричних прогресіях зустрічаються вкрай рідко.
Обчислюємо b₁₉
b[19]=62,7/5,5=11,4.
Відповідь: b[19]=11,4.

Приклад 21. Обчислити суму перших двадцяти членів арифметичної прогресії (а_п), якщо а₆ +а₉+а₁₂+ а₁₅ = 20 .
Розв'язання: Виглядає на перший погляд незрозуміло, як з такого запису отримати суму. Однак, якщо згадати формулу суми арифметичної прогресії, то все що там фігурує – це перший та останній член суми, а також їх кількість. Таким чином слід представити суму заданих членів прогресії через перший та останній елемент. Запевняю Вас, що різниця прогресії в розрахунках спроститься і задана умова не що інше, як подвоєна сума першого та 20 члена прогресії. В цьому Ви зараз наглядно переконаєтеся. Розписуємо перші два доданки суми через a[1], а останні через a[20].
a[6]=a[1]+5d;
a[9]=a[1]+8d;
a[12]=a[20]-8[d];
a[15]=a[20]-5d.
Просумувавши їх усіх, отримаємо
a[6]+a[9]+a[12]+a[15]=2*a₁+2*a[20].
Формула суми 20 членів арифметичної прогресії має вигляд

Чисельник дробу і є заданою сумою, розділеною на 2. Тому зразу виконуємо обчислення
S[20]=20/2/2*20=100.
Відповідь: S[20]=100.

Приклад 22. Сума першого і п'ятого членів арифметичної прогресії дорівнює 28, а добуток четвертого і третього членів 280. Обчислити суму перших десяти членів прогресії.
Розв'язання: В цьому завданні і подібних потрібно складати систему рівнянь. Для цього запишемо спершу у мову у вигляді
a[1]+a[5]=28; a[3]*a[4]=28.
Оскільки 3 член прогресії є рівновіддаленим від 1 і 5, то їх середнє арифметичне і буде 3 членом прогресії
a[3]=(a[1]+a[5])/2=28/2=14.
Добуток розпишемо через 3 член прогресії
a[3]*a[4]=a[3]*(a[3]+d)=280;
14*(14+d)=280.
Звідси знаходимо різницю прогресії
14+d=280/14=20;
d=20-14=6.
Обчислимо 1 і 10 член арифметичної прогресії
a[1]=a[3]-2d=14-2*6=2;
a[10]=a[3]+7d=14+7*2=28.
Маємо все необхідне для обчислення суми прогресії
S[10]=(2+28)*10/2=150.
Відповідь: S[10]=150.

Приклад 23. Знайти чотири числа, які утворюють геометричну прогресію, у якій третій член більший за перший на 9, а другий більший за четвертий на 18. У відповіді записати їх суму.
Розв'язання: Запишемо умову завдання у вигляді
b[3]-b[1]=9; b[2]-b[4]=18.
Розпишемо члени геометричної прогресії через 1 елемент

Поділивши перше друге рівняння на перше отримаємо знаменник прогресії

З першого рівняння знаходимо 1 член геометричної прогресії

Всі решта члени прогресії отримуємо до множенням попереднього номера на знаменник.
b[2]=b[1]*q=3*(-2)=-6;
b[3]=b[2]*q=-6*(-2)=12;
b[4]=12*(-2)=-24.
Залишилося обчислити суму членів геометричної прогресії
S=3-6+12-24=-15.
Відповідь: S=-15.

Приклад 24. Знаменник геометричної прогресії 1/3, третій член геометричної прогресії 1/9, а сума всіх членів геометричної прогресії 13/9. Знайти кількість членів геометричної прогресії.
Розв'язання: Суму членів геометричної прогресії знаходимо за формулою

Знайдемо перший член прогресії через 3 та знаменник.

Підставимо значення у формулу суми та знайдемо кількість просумованих членів

Отже, сумували 3 члени геометричної прогресії.
Відповідь: n=3.

Приклад 25. Дано дві арифметичні прогресії. Перший і п'ятий члени першої прогресії відповідно дорівнюють 7 і -5. Перший член другої прогресії дорівнює 0, а останній 7/2. Обчислити суму членів другої прогресії, якщо відомо, що треті члени обох прогресій рівні між собою.
Розв'язання: Запишемо умову прикладу
a[1]=7;a[5]=-5;
b[1]=0; b[n]=7/2;
a[3]=b[3]; S[n]-?
Знайдемо 3 член першої прогресії через середнє арифметичне сусідніх
a[3]=(a[1]+a[5])/2=(7-5)/2=1.
Враховуючи, що
b[3]=a[3]=1,
знайдемо крок другої прогресії.
b[3]=b[1]+2*d;
1=0+2*d; d=1/2=0,5.
Знайдемо номер останнього члена другої прогресії
b[n]=0+(n-1)d=7/2=3,5;
n-1=3,5/d=3,5/0,5=7;
n=7+1=8.
Знаходимо суму восьми членів прогресії
S[8]=(0+3,5)*8/2=3,5*4=14.
Відповідь: S[8]=14.

Після такої практики, я думаю Ви знаєте як знаходити суму арифметичної та геометричної прогресії. Якщо ні перегляньте приклади від початку (це був жарт).

Якщо приклади були корисні Вам - порекомендуйте їх друзям.

Переглянути схожі матеріали: