В контрольній роботі містятьться завдання наступного типу: розв'язок СЛАР методом Крамера, границя функції без застосування правила Лопіталя, екстремум функції двох змінних, визначені та невизначені інтеграли, знаходження площі між кривими на площині. Такі задачі часто зустрічаються в студентській практиці та будуть корисні для ознайомлення усім.

Завдання 1. Розв'язати систему трьох лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими за формулами Крамера
СЛАР
Виконати перевірку розв'язків.

Розв'язання: Знаходимо головний визначник за формулою трикутника
визначник, обчислення


Обчисюємо допоміжні визначники заміною відповідних стовпців на стовпець із вільних членів
вектор











За формулами Крамера обчислюємо розв'язки системи рівнянь
формула Крамера
формула Крамера
формула Крамера
Виконуємо перевірку підстановкою значень
підстановка
підстановка
підстановка
Значення тотожні, отже обчислення виконані правильно.

 

Завдання 2. Дано координати вершин трикутника А,В,С:
А(3;0), В(5;10), С(13;6).
1) Знайти рівняння сторони АВ.
2) рівняння медіани АМ.
3) рівняння кола, для якого медіана АМє діаметром

Розв'язання:
1) Запишемо умову завдання
АВС: (3;0), В(5;10), С(13;6).
АВ=(5-3;10-0)=(2;10)

Модуль вектора АВ рівний
модуль вектора
Загальне рівняння прямої, що проходить через точки А і В таке
y=kx+b.
Підставляємо задані точки та зводимо до системи рівнянь
система рівнянь
Від другого рівняння віднімаємо перше

Підставляємо k=5 в друге рівняння

Остаточне рівняння прямої, що проходить через точки А і В таке:
y=5x-15.

2) Знайдемо середину сторони BC, адже медіана АМ буде проходити через цю точку.
М=(B+C)/2;
середина прямої
Складаємо рівняння прямої, що проходить через точки
А(3;0); M(9;8);
y=kx+b

система рівнянь
Від другого рівняння віднімаємо перше, помножене на 3

Знайдену невідому підставляємо в перше рівняння

Остаточне рівняння прямої АМ буде наступним
y=4/3*x-4.

3) Знайдемо радіус кола, для якого медіана АМ (А(3;0), M(9;8)) є діаметром
АM=(9-3;8-0)=(6;8);
радіус кола
Знайдемо центр кола – точку О.
O=(A+M)/2;
центр кола
Рівняння кола з центром в точці О(6;4) та радіусом 5 буде наступним.

Трикутник та коло наведені нижче

трикутник та коло

 

Завдання 3. Знайти границі функцій, не користуючись правилом Лопіталя:
а) границя приклад

Розв'язання: При змінній прямуючій до безмежності домінуючий вклад вносять доданки, в яких змінна міститься в більшому степені. Виносимо їх за дужки та скорочуємо
границя, обчислення

б) границя приклад

Розв'язання: Чисельник і знаменник перетворюються в нуль у точці x=1. В подібних випадках потрібно скоротити обидві частини на множник, що має особливість. В данному випадку можна було скористатися формулами


Але такими формулами можна скористатися лише в окремих випадках. В загальному, якщо функція має вигляд поліном розділити на поліном, і вточці знаходження границі x0 обидві перетворюються в нуль то необхідно їх розділити на (x-x0). В даному випадку отримаємо такі розклади для чисельника
ділення многочлена на многочлен
та знаменника відповідно.
ділення многочлена на многочлен
Отримані значення підставляємо в границю та обчислюємо
границя, обчислення
Границя функції рівна 4/3.

 

Завдання 4. Знайти похідну функції
функція

Розв'язання: Знаходимо похідну за правилом складеної функції. Спершу від степеневої функції за формулою
похідна, правило
а далі від фукцій в дужках.
похідна, обчислення
В останній дужці похідну шукаємо від кожного доданку окремо.
До першого доданку застосовуємо логарифмічне диференціювання
похідна, обчислення
похідна, обчислення
похідна, обчислення
похідна, обчислення
похідна, обчислення
Другий доданок внесе такий вклад
похідна, обчислення
похідна, обчислення

Підставляємо знайдені значення в похідну
похідна, результат
Даний приклад навчить Вас нових прийомів, тому добре в ньому розберіться.

 

Завдання 5. Дослідити функцію z=f(x,y) на екстремум:
функція двох змінних

Розв'язання: Методика дослідженя функції двох змінних на екстремум наступна.
Знаходимо похідні dz/dx і dz/dy та пирівнюємо їх до нуля.
диференціювання
диференціювання
система рівнянь
Розв'язавши систему рівнянь знайдемо екстремальну точку.
З другого рівняння виражаємо невідому х та підставляємо в перше.
х=1-2y
спрощення
3-3y=0 y=1.
Знайдене значення підставляємо в будь-яке із рівнянь (2)

Отже точка А(-1;-1) точка екстремуму.
Знайдемо другі похідні
другі похідні
За необхідною ознакою екстремуму знаходимо


Оскільки обидва додатні , то точка А(-1;1)є точкою мінімуму.
Графічно функції в околі мінімуму зображено нижче

графік, точка мінімуму

 

Завдання 6. Знайти невизначені інтеграли:
а) невизначений інтеграл, приклад

Розв'язання: Розбиваємо підінтегральний вираз на два доданки та знаходимо невизначені інтеграли. Перший інтеграл знаходимо заміною змінних, другий - внесенням змінної під диференціал.
1) невизначений інтеграл, обчислення
невизначений інтеграл, обчислення
невизначений інтеграл, обчислення

2) інтеграл, обчислення
інтеграл, обчислення
інтеграл, обчислення
Сумуємо інтеграли


де- константа. На цьому всі розрахунки.

 

б) невизначений інтеграл, приклад

Розв'язання: Даний інтеграл обчислюємо за правилом інтегрування частинами udv
інтегрування, правило
інтеграл, обчислення
Знаходимо інтеграл, що залишився
інтеграл, обчислення
інтеграл, обчислення
інтеграл, обчислення
Підставляємо вираз у вихідний інтеграл


У відповіді отримали і логарифм і арктангенс.

 

Завдання 7. Обчислити визначений інтеграл
визначений інтеграл, приклад

Розв'язання:Проведемо деякі перетвореня підінтегральної функції
спрощення

після чого виконаємо інтегрування
інтегрування


Інтеграл рівний 22,5.

 

Завдання 8. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:
функціяфункція
S-?

Розв'язання: Знайдемо точки перетину цих ліній
точки перетину
дискримінант
орені рівняння

Для з'ясування, яка крива знаходиться вище на графіку, а яка нижче підставляємо точку з проміжку [1;3], наприклад візьмемо точку х=2


Обидві функції на графіку матимуть такий вигляд

Отже друга лінія вище на графіку від першої, враховуючи це знаходимо площу
площа криволінійної трапеції



Якщо не враховувати порядку кривих то може вийти від'ємне значення інтегралу. Пам'ятайте, що площа від'ємною не буває (міняйте знак при відповіді).
Вибирайте для себе простіші та швидкі методи обчислення тих чи інших завдань. Практикуйте та не майте труднощів у подібних обчисленнях.