Без комплексних чисел неможливо розв'язати безліч цікавих та непростих на перший погляд задач з механіки, фізики, математики, термодинаміки. Вони доповнюють множину дійсних чисел, використовуючи при цьому власні правила обчислень сум, часток і т.д. Комплексним числом називають число вигляду

де і - дійсні числа, - уявне число, або недійсне число

- дійсна частина комплексного числа,
- уявна частина комплексного числа.

Комплексні числа називаються спряженими, якщо їх дійсні частини збігаються, а уявні протилежні знаком, тобто, якщо , то спряжене до нього є .
Два комплексні числа називаються рівними, якщо рівні їхні дійсні частини та коефіцієнти при уявних частинах:

ДІЇ НАД КОМПЛЕКСНИМИ ЧИСЛАМИ, ЗАДАНИМИ В АЛГЕБРАЇЧНІЙ ФОРМІ

Нехай задано два комплексних числа та .
1. Додавання:

Наприклад, сума двох компексних чисел -1+4i та 3-7i за формулою рівна

2. Віднімання:

Різницю двох комплексних чисел знаходимо за правилом

наприклад, віднімемо наступні два числа 3+5i, 1-4i

3. Множення:

Правило добутку двох комплексних чисел має наступний запис

Наприклад, помножио число 2+5i на 3+i

4. Ділення:

Операція ділення досить подібна до позбуття ірраціональності в знаменнику. При діленні чисельник і знаменник потрібно помножити на спряжений вираз до дільника

В результаті комплексна частина в знаменнику занулиться і отримаємо класичну формулу комплексного числа.

Наприклад, поділимо 4+5i на 3+2i

Піднесення уявної частини числа до степеня з натуральним показником :
, якщо ділиться на 4 без остачі;
, якщо ділиться на 4 з остачею 1;
, якщо ділиться на 4 з остачею 2;
, якщо ділиться на 4 з остачею 3.

 

Приклад 1. Обчислити значення виразів

1)
2)
3)
4)
якщо

Розв'язок. Основні операції з комплесними числами, це як основа основ даній теорії тому спробуйте розібратися з правилами з першого разу та в майбутньому не мати проблем з обчисленнями.

1) Проведемо додавання та віднімання згідно правил

2) Спряженим до числа буде
Обчислимо добуток перших двох чисел


Обчислимо добуток отриманого числа на


Отже, шуканий добуток буде рівний 65-13i

3) Виконаємо ділення компексних чисел за формулою

В результаті отримали число, яке має тільки уявну частину.

4) Спочатку підносимо число z3 до квадрату

Тепер виконаємо ділення


При обчисленнях будьте уважні і слідкуйте за знаками, як правило, неуважність є причиною більшості помилок при роботі з омплесними числами. Правила піднесення до степеня уявної частини прості і, розв'язавши необхідну кількість подібних прикладів, Ви їх засвоїте без особливих зусиль.