Розберемо готові відповіді до прикладів на знаходження площі плоскої фігури, що обмежена кривими через подвійні інтеграли.
Завдання не складні, а вся схема знаходження площі вимагає всього трьох речей:
знання елементарних функцій та вміння шукати точки їх перетину;
розуміння як через криволінійні інтеграли шукати площу, вміння правильно розставляти межі;
добрих знань з обчислення інтегралів, оскільки до цього все зводиться.

ЗАВДАННЯ 4.1 Знайти площу плоскої фігури, що утворена лініями:
x=4-y2, x+2y=4.
Розв'язання: Фігура обмежена x=4-y2 - параболою з вершиною у точці O(4;0) і гілками вліво;
та x+2y=4 - прямою, що відтинається на осях у точках (4;0) і (0;2).
Знайдемо точки перетину графіків функцій із системи рівнянь:

При її розв'язанні отримаємо дві точки

Графік параболи та прямої наведено на рисунку

подвійний інтеграл
Запишемо межі інтегрування:
D: 0≤x≤4,
Тут маємо y=√(4-x) - рівняння верхньої частини параболи x=4-y2;
Обчислимо площу фігури знаходженням подвійного інтеграла:
площа плоскої фігури
Площа рівна 1,33 одиниць квадратних.

 

ЗАВДАННЯ 4.2 Знайти площу плоскої фігури, що утворена лініями:
y=2-x, y2=4x+4.
Розв'язання: y2=4x+4 - парабола з вершиною у точці O(-1;0) і гілками вправо;
y=2-x, x+y=2 - пряма, яка відтинається на осях у точках (2;0) і (0;2).
Складаємо систему рівнянь для знаходження точок перетину графіків заданих кривих:

При розв'язанні отримаємо дві точки

Графік області інтегрування має вигляд

площа фігури
Межі в області D:
-6≤x≤2, 0,25y2-1≤y≤2-y.
Знаходимо площу фігури через криволінійний інтеграл:
площа плоскої фігури
Кратний інтеграл не важко інтегрувати.

 

ЗАВДАННЯ 4.3 Знайти площу плоскої фігури, що утворена лініями:
x2+y2=4, x2+y2=4x.
Розв'язання: Область інтегрування обмежена x2+y2=4 - колом з центром у точці O1(0;0) і радіусом R=2;
x2+y2=4x, x2-4x+4+y2=4, (x-2)2+y2=22 - коло з центром у точці O1(2;0) і радіусом R=2.
Знайдемо точки перетину графіків заданих функцій з системи рівнянь:

звідси

Графік фігури, площу якої шукаємо наведено далі
подвійний інтеграл
Розставимо межі в області D
(оскільки область симетрична відносно прямої y=0, то розглядатимемо її половину, а результат помножимо на 2):
D: 0≤y≤√3,
Тут записали:
- рівняння лівого півкола (x-2)2+y2=4;
- рівняння правого півкола x2+y2=4.
Обчислимо площу фігури через подвійний інтеграл:
площа інтегруванням
При інтегруванні отримали арксинуси, далі підставили межі та округлили кінцеве значення.

 

ЗАВДАННЯ 4.4 Знайти площу плоскої фігури, що утворена лініями:
x2+y2=2x, x2+y2=4x, y=x, y=0.
Розв'язання: Почнемо обчислення з аналізу того, що собою являє фігура, площу якої потрібно знайти.
x2+y2=2x, x2-2x+1 +y2=1, (x-1)2+y2=12 - коло з центром у точці O1(1;0) і радіусом R=1.
x2+y2=4x, x2-4x+4+y2=4, (x-2)2+y2=22 - коло з центром у точці O1(2;0) і радіусом R=2.
y=x - пряма, яка є бісектрисою першої та третьої чверті.
подвійний інтеграл 
Оскільки поверхня обмежена колами, то доцільно перейти до полярних координат.

Знайдемо якобіан переходу:

Запишемо задані функції в полярній системі координат:

звідси

звідси
y=0, тоді
y=x, тоді
Це нам потрібно, щоб знати межі в новому інтегралі.
Межі інтегрування в полярній системі координат:

Знайдемо площу фігури, обмеженої заданими лініями:
площа фігури, інтеграл
Кінцеве значення площі можна ще округлити.
З цього прикладу Ви ознайомилися як шукати площу в полярній системі координат.
В наступній статті розберемо ще кілька прикладів на знаходження площі фігур інтегруванням.