На попередньому уроці проаналізовані простіші приклади з обчислення потоку векторного поля. Тут завдання ускладнюються поверхнею інтегрування, яка обмежена як одним, так і двома перерізами.
Як наслідок, більше розрахунків меж інтегрування, складніші подвійні інтеграли і самі обчислення. Усі важливі переходи та прийоми добре розписані, а приклади відповідають навчальним програмам більшості ВУЗів України.

ЗАВДАННЯ 8.2 Знайти потік векторного поля через замкнену поверхню S: x2+y2=z2, z=1, z=5 (нормаль зовнішня).
Розв'язання:  Поверхня x2+y2=z2 - описує частину конуса з вершиною в початку координат, що витягнутий вздовж осі Oz і обмежений площинами z=1, z=5.
В цьому та наступних прикладах для уявлення приведені поверхні інтегрування  та їх проекції в декартову площину
переріз конуса В перерізі отримали два кола з радіусами, відповідно, R=1, R=5.
В силу симетрії немає потреби інтегрувати по колу, достатньо знайти межі чверті області інтегрування:
інтегрування по конусу
Вкінці результуючий інтеграл домножимо на четвірку.
В прикладах на інтегрування по поверхнях потрібно швидко виконувати побудову класичних тіл обертання.
Також необхідно правильно знаходити перетини площинами, інакше правильної відповіді не отримаєте.
Ви маєте вміти вдало враховувати симетричність функцій, їх парність чи непарність.
Обчислимо дивергенцію векторного поля :

де функції є відповідними множниками при ортах веторного поля
P=P(x;y;z)=e2z+2x, Q=Q(x;y;z)=ex-y, R=R(x;y;z)=2z-e2y.

За формулою Остроградського-Гаусса знаходимо потік векторного поля  
потік векторного поля, формулаЗ потрійного інтегралу бачимо, що крім того, що потрібно добре вміти вірно розставяти межі інтегрування, знання методу заміни змінних теж важливе. 
Без цього Ви зупинитеся на середині інтегралу і не будете знати, як звести інтеграл до кінцевого значення.

 

ЗАВДАННЯ 8.4 Обчислити потік векторного поля через замкнену поверхню S: x2+y2=6z, z=1 (нормаль зовнішня).
Розв'язання: Поверхня x2+y2=6z - коловий параболоїд з вершиною в початку координат, що витягнутий вздовж осі Oz і обмежений площиною z=1.
коловий параболоїд, інтегруванняВ перерізі отримали коло з радіусом рівним кореню з шести
Як  знати, що отримаємо в перерізі площиною?
Хто добре читав теорію, той робить це автоматично а загалом в рівняння поверхні  x2+y2=6z підставляємо площину z=1.
В результаті отримаємо рівняння кола x2+y2=6.
Справа маємо квадрат радіуса, ось і весь аналіз. І така схема справедлива для цілого класу розглянутих задач.
Як бачимо з рисунку чверть області V обмежена  межами:
межі інтегралу
Як і в попередньому завданні, тут враховуємо парність всіх функцій.
Це дозволяє спростити саме інтегрування і не розбивати домінуючий інтеграл на декілька з однаковим кінцевим значенням.
Враховуючи це, результат помножимо на 4. 
Але до нього ще слід дійти, тому спершу обчислюємо дивергенцію векторного поля

обчислення дивергенції
де функції P, Q, R приймають значення
P=P(x;y;z)=ez+4x, Q=Q(x;y;z)=2xz-y, R=R(x;y;z)=-2z-x2y.
Обчислюємо потік векторного поля  за відомою формулою:
обчислення потоку векторного поляДля більшості наведених прикладів перехід до полярної системи координат під інтегралом дозволяє спростити подальше їх знаходження.

Детально зупинятися не будемо, в формулі розписані всі етапи інтегрування та заміни, тож аналізуйте самостійно.

 

ЗАВДАННЯ 8.7 Знайти потік векторного поля через замкнену поверхню S: 2(x2+y2)=z2, z=2, z=6 (нормаль зовнішня).
Розв'язання: Рівняння 2(x2+y2)=z2 описує конус з вершиною в початку координат (0;0;0), що витягнутий вздовж осі Oz і обмежений площинами z=2, z=6 за умовою.
поверхня конуса В перерізі отримали кола з радіусами, відповідно корінь з двох та вісімнадцяти
В силу симетрії розглядаємо чверть області V, що обмежена поверхнями:
межі інтегрування, формула Остроградського-Гаусса
Результат інтегрування помножимо на 4.
Визначаємо дивергенцію векторного поля :

де функції задаються залежностями

За формулою Остроградського-Гаусса знаходимо потік поля :
формула Остроградського-Гаусса, потрійний інтегралФормули не з легких, проте доволі поширені на практиці, тому не спішіть та добре проаналізуйте розстановку меж та заміну зміних.
Застосування переходу до полярної СК дозволяє звести кореневі функції до показникових.

 

ЗАВДАННЯ 8.8 Обчислити потік векторного поля через замкнену поверхню S: x2+y2+z2=4x-2y-4 (нормаль зовнішня).
Розв'язання: Зведемо поверхню x2+y2+z2=4x-2y-4 до канонічного вигляду
x2-4x+4+y2+2y+1+z2=4+1-4, (x-2)2+(y+1)2+z2=1 - сфера з центром (2; -1; 0) і радіусом R=1.
Її графік та проекція на площину Oxy можна зобразити рисунком
інтегрування по сфері Як можна бачити з рисунку, 1/8 поверхні сфери задається границями:
межі інтегрування
Тут врахували парність функцій, тому інтеграл будемо множити на 8 (верхня і нижня півсфери).
Дивергенцію векторного поля  знаходимо за формулою:
дивергенція поля
де P=P(x;y;z)=sin(2y)+x, Q=Q(x;y;z)=y-sin2(x), R=R(x;y;z)=z-cos(x*y).
Далі інтегруванням обчислюємо потік  поля : потрійний інтеграл, обчислення де R=1 - радіус сфери.
Так як тут підінтегральна функція рівна сталій, то потрійний інтегра не що інакше, як об'єм сфери з радіусом 1, розділений на 8 (згідно спрощень).
На основі вище розглянутих задач, спробуйте самостійно знайти потрійний інтеграл та переконатися в правильності міркувань.

 

ЗАВДАННЯ 8.14 Знайти потік векторного поля через замкнену поверхню S: , (нормаль зовнішня).
Розв'язання: Поверхня задає конус з вершиною в (0;0;4), що витягнутий вздовж осі Oz вниз і обмежений площиною z=1.
Графічно поверхню інтегрування можна уявити з наступних русунків
інтегрування по конусуВ перерізі z=1 отримаємо коло з радіусом R=3. В силу симетрії чверть області V задається наступними межами:

Не забуваємо, що при цьому потрібно інтеграл домножити на 4.
Знаходимо дивергенцію поля дивергенція векторного поля:

взявши за функції P,Q,R відповідні коефіцієнти поля

Потік векторного поля знаходимо за формулою Остроградського-Гаусса:
формула Остроградського-Гаусса, обчисленняПотрійний інеграл не важкий в плані обчислень, і схеми застосування заміни змінних та зведення до простого вигляду добре розписані в попередніх пунктах.
Потік рівний П=27Pi.

 

ЗАВДАННЯ 8.15 Обчислити потік векторного поля через замкнену поверхню S: 2y-x+z=2, x=0, y=0, z=0 (нормаль зовнішня).
Розв'язання: Рівняння 2y-x+z=2, -x/2+y/1+z/2=1- описує площину, яка є однією з гранею трикутної піраміди.
Щоб краще це уявити розгляньте наступні рисунки до задачі.
трикутна піраміда, інтегруванняЗ побудови бачимо, що область V обмежена поверхнею:

Такий аналіз дозволяє правильно розставити межі в потрійному інтегралі.
Обчислюємо дивергенцію векторного поля :
дивергенція
де P=P(x;y;z)=x+4yz, Q=Q(x;y;z)=ez+x+y, R=R(x;y;z)=-3z-x2y.
Для знаходження потоку  поля  застосовуємо формулу Остроградського-Гаусса:
потік векторного поля, обчислення
Тут все ясно, осільки заміни змінних не використовували, а повторне інтегрування не складне.

 

ЗАВДАННЯ 8.16 Знайти потік векторного поля через замкнену поверхню S: x2+y2=z2, z=1, z=5 (нормаль зовнішня).
Розв'язання: Поверхня x2+y2=z2 описує конус з вершиною у (0;0;0), що витягнутий вздовж осі Oz вгору і обмежений площинами z=1, z=5.
Схематично це можна зобразити наступним чином
конус, інтегрування
В перерізі отримали 2 кола з радіусами, відповідно, R=1, R=5.
В силу симетрії, чверть області V описуємо межами:
межі інтегрування
Інтеграл при цьому слід множити на 4.
Через часткові похідні знаходимо дивергенцію поля :
дивергенція, де
тут P=P(x;y;z)=e2z+2x, Q=Q(x;y;z)=ex+y, R=R(x;y;z)=2z-ey.
І найважча частина завдання, це знаходження подвійного інтегралу для визначення потоку  поля :
потік векторного поля, знайти
Інтеграл не з легких, тому уважно розберіть як розставлені межі, проаналізуйте ефективність заміни змінних при спрощенні повторного інтегралу.

 

ЗАВДАННЯ 8.25 Обчислити потік векторного поля через замкнену поверхню S: z=-1 (нормаль зовнішня).
Розв'язання: Аналіз рівняння -показує, що задано конус з зміщеною відносно початку координат вершиною (0;0;-3), який витягнутий вздовж осі Oz вгору і обмежений зверху площиною z=-1.
конусВ перерізі  маємо коло з радіусом R=2.
Чверть області V описуємо наступними межами:
межі поверхні
Правильно знайдені межі грають визначаьну роль при інтегруванні, тож пам'ятайте що це одна з відповідальних частин наведених розрахунків.
Результат інтегрування не забувайте домножити на 4.
Дивергенцію  поля  через часткові похідні рівна:
дивергенція векторного поля
тут враховано P=P(x;y;z)=x/2+ln(1-z), Q=Q(x;y;z)=y, R=R(x;y;z)=x2+z/3.
За наведеною формулою  обчислюємо потік векторного поля :
потік векторного поляПерехід від повторного до подвійного визначеного інтегралу краще робити через наведену заміну змінних, решта все зводиться до простих табличних формул інтегрування та визначення значень на межах.
Будьте уважні при розрахунах, в першу чергу перевіряйте правильність розстановки меж. Далі зазубріть заміну змінних, яка тут наведена, та застосовуйте її в прикладах, що подібні за констукцією до розглянутих.
При обчисленні  інтегралів перевіряйте себе на кожному кроці, найменша помилка при переходах на початку приведе до неправильної відповіді вкінці розрахунків.