Кратні інтеграли являють собою подвійні та потрійні інтеграли. З їх допомогою розв'язують широкий клас задач. За допомогою подвійних інтегралів обчислюють переважно площі фігур на площині, або як їх ще називають - площі криволінійних трапецій. Потрійні інтеграли служать для знаходження об'єму тіл, що утворилися в результаті перетину кількох поверхонь. На практиці вивчають зміну меж інтегрування, що часто дозволяє або спростити або ускладнити обчислення.
Наведені відповіді індивідуальної роботи з вищої математики дозволять Вам легше розуміти теоретичний матеріал та допоможуть при самостійному визначенні меж інтегрування.

ВАРІАНТ – 21

Подвійний інтеграл

ЗАВДАННЯ 1.25 Поміняти порядок інтегрування в подвійному інтегралі:
подвійний інтеграл
Розв'язання: Випишемо область інтегрування, яка обмежена кривими

де y=1/x2 - гіпербола, y=x-3 - пряма.
Побудуємо графік наведених кривих та заштрихуємо фігуру
площа фігури
Виразимо отримані функції через змінну y: y=1/x2, звідси , перед радикалом стоїть знак «+» оскільки частина гіперболи (одна з її віток) знаходиться у правій (додатній по x) частині півплощини;
y=x-3, звідси x=y+3.
Точка перетину двох функцій знаходимо з умови x1=x2:
1/y=y2+6y+9, 1=y3+6y2+9y, y3+6y2+9y-1=0, звідси наближено y=0,1.
При зміні порядку інтегрування область розбили на дві області: D=D1+D2.
На першій частинні змінна проходить від одиниці до прямої, на другій від 1 до гіперболи.
Розставимо межі в кожній області:

При зміні меж інтегрування отримаємо суму наступних інтегралів
подвійний інтеграл

ЗАВДАННЯ 2.6 Знайти площу плоскої фігури, заданої наступними умовами: x2+y2-4x=0, . Розв'язання: x2+y2-4x=0, x2+y2-4x+4-4=0, (x-2)2+y2=22 - рівняння кола з центром у точці O(2;0) і радіусом =2.
Умова - півплощина, що знаходиться нижче прямої y=x-1.
Знайдемо точки перетину графіків заданих функцій x2+y2-4x=0 і y=x-1, для цього можемо друге рівняння (y) підставити в перше
x2+(x-1)2-4x=0, x2+x2-2x+1-4x=0, 2x2-6x+1=0.
При обчисленні отримаємо два корені квадратного рівняння

та відповідні їм аргументи

Отож, задану область будемо розбивати на дві області: D=D1+D2.
області інтегрування
Розставимо межі інтегрування для кожної з областей:
межі інтегрування
Через подвійний інтеграл обчислюємо площу фігури, обмеженої заданими кривими:
площа фігури

ЗАВДАННЯ 3.14 Обчислити подвійний інтеграл по області D, обмеженій вказаними лініями:
D: y=x3, y=0,
Розв'язання: Побудуємо область інтегрування функції
площа фігури
Розставимо межі в заданій області D:

Обчислимо подвійний інтеграл по області D, обмеженій вказаними лініями:
подвійний інтеграл
При бажанні, можете поміняти межі інтегрування і переконатися в тому, що результати будуть однаковими. Другий шлях дещо довший, оскільки вилізуть корені, а їх мало хто любить інтегрувати.


ЗАВДАННЯ 4.23 Обчислити подвійний інтеграл, використовуючи полярні координати:
подвійний інтеграл
Розв'язання: Побудуємо область інтегрування, яка обмежена кривими

де
Отримали коло з центром в початку координат O(0;0) і радіусом R=1 (верхня половина).
Перейдемо до полярної системи координат:

тоді якобіан переходу:
.
Виразимо підінтегральну функцію в полярній системі координат:

Запишемо межі інтегрування в полярній системі координат:

Обчислимо подвійний інтеграл:
подвійний інтеграл, полярна система

 

ЗАВДАННЯ 5.24 Обчислити площу області D, обмеженої вказаними лініями:
D: x=4-y2, x-y+2=0.

Розв'язання: Знайдемо точку перетину двох графіків x=4-y2 і x=y-2:
y-2=4-y2, y2+y-6=0, (y-2)(y+3)=0,y1=-3, y2=2, x1=-5,x2=0.
площа фігури
Утворену область D будемо розбивати на дві області: D=D1+D2.
Розставимо межі в кожній області:
область інтегрування
Обчислимо площу області D, обмеженої вказаними лініями:
подвійний інтеграл
Площа рівна S=20,83(3) од. кв.


ЗАВДАННЯ 6.6 Використовуючи подвійний інтеграл, обчислити, перейшовши до полярних координат, площу плоскої фігури:
Розв'язання: Маємо рівняння фігури у полярній системі координат:

Оскільки задана функція парна, то обчислимо чверть площі і результат помножимо на 4.
Тому межі інтегрування:
Обчислимо площу плоскої фігури:

площа в полярній системі

 

Об'єм тіла, обмеженого поверхнями

ЗАВДАННЯ 7.5 Знайти об'єм тіла, заданого поверхнями, що його обмежують:
x2+y2=4x, x2+y2=8x,
Розв'язання: Переторимо рівняння першої фігури
x2+y2=4x, x2-4x+4+y2=4, (x-2)2+y2=22- коловий циліндр, радіусом R=2 і витягнутий вздовж осі Oz. Центр основи (2;0).
Подібні перетворення виконуємо для другого рівняння
x2+y2=8x, x2-8x+16+y2=16, (x-4)2+y2=42- коловий циліндр, радіусом R=4 витягнутий вздовж осі Oz. Центр основи (4;0).
Підносимо до квадрату функцію z2=x2+y2, x2+y2-z2=0 - конус з вершиною у точці O(0;0), витягнутий вздовж осі Oz (верхня частина).
Об'єм тіла, що обмежене заданими поверхнями, будемо шукати при додатних аргументах і результат помножимо на 2, оскільки задані функції парні відносно осі Ox.
Об'єм тіла межі інтегрування
Оскільки утворене тіло не обмежене зверху, то об'єм шукатимемо до площини наприклад z=4, тоді рівняння основи конуса набуде вигляду:
x2+y2=42.
Розставимо межі в заданій області інегрування:

та знайдемо об'єм тіла
об'єм тіла
Інтеграл не надто важкий, головне не наробити помилок при підстановці меж та кінцевих спрощеннях.

ЗАВДАННЯ 8.8 Розставити межі інтегрування в потрійному інтегралі , якщо область V обмежена вказаними поверхнями:
V: y=3x, y=3,
Намалювати область інтегрування.
Розв'язання: Рівняння поверхні в просторі запишемо: z=y2/3 - параболічний циліндр.
потрійний інтеграл
Межі інтегрування розставимо наступним чином:
V:
Розставляэмо межі в потрійному інтегралі
об'єм тіла
 

ЗАВДАННЯ 9.1 Обчислити потрійний інтеграл:

де V:
Розв'язання: Задана область V є паралелепіпедом,

тому без труднощів розставляємо межі інтегруванн та знаходимо потрійний інтеграл
об'єм тіла
Обчислення не важкі, лише вимагають уважності при підрахунках.

ЗАВДАННЯ 10.21 Використовуючи потрійний інтеграл, обчислити об'єм тіла: де x2+y2=9, z=y2, . Намалювати область інтегрування.
Розв'язання: Об'єм тіла, утвореного перетином колового x2+y2=9 і параболічного z=y2 циліндра будемо обчислювати для четвертини тіла (функції парні), а результат помножимо на 4.
Зобразимо перетин площин та область інтегрування
потрійий інтеграл
Запишемо межі інтегрування, враховуючи умову і виконаний рисунок:

Через потрійний інтеграл знайдемо об'єм тіла:
потрійний інтеграл
Якщо округлити, то отримаємо об'єм тіла рівний 63,585 од.куб.
Більше прикладів на подвійні та потрійні інтеграли шукайте на сторінках сайту.