Посібник для підготовки до ЗНО тестування з МАТЕМАТИКИ

Підручник для 9-11 класів:
Автори: Анатолій Капіносов, Галина Білоусова, Галина Гап'юк, Сергій Мартинюк, Лариса Олійник, Петро Ульшин, Олег Чиж

Завантажити (скачати) відповіді (Посібник для підготовки до зовнішнього незалежного тестування з математики).  
Формат: PDF
Зміст: Посібник містить поради щодо проходження ЗНО з математики та взірці тестових завдань. Усі задачі однієї теми розміщені в порядку складності.
Рекомендуємо всім завантажити відповіді до ЗНО та самостійно пройти теми, з якими маєте труднощі на практичних.

Рік випуску: 2010 р.

 

Тема 29: Трикутники 

 

Перші десять прикладів розв'язані на попередньому занятті. Всього в розділі 25 завдань на кути, бісектриси, медіани, подібність трикутників.
Далі проаналізуємо 6 завдань на властивості трикутників і в наступному уроці розберемо ще 9 прикладів.
Таким чином Ви повторите шкільний матеріал за 7, 8, 9 класи та ознайомитеся з тестовими завданнями, які можуть чекати Вас на контрольній чи ЗНО.

 

Задача 29.11 Два кути трикутника дорівнюють α і β, а радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює R.
Визначити площу трикутника.

Обчислення: Спершу будуємо трикутник вписаний у коло та наносимо всі позначення у відповідності з умовою.
Розглянемо трикутник MNK, у якого <NMK=α і <MKN= β.
За теоремою синусів знайдемо сторони MN і MK:
MN/sin(β)=2R, звідси маємо MN=2R• sin(β).

 тобто, звідси маємо MN=2R• sin(α+β). де sin(180-(α +β)+ sin(α +β) за властивістю.
Обчислимо площу трикутника за двома MN і MK сторонами і кутом між ними <NMK:

Відповідь: Д.

 

Задача 29.12 Дві сторони трикутника дорівнюють 48 см і 28 см. Указати всі можливі значення периметра трикутника.

Обчислення: Нехай маємо трикутник ABC і AB=48 см, BC=28 см.
За властивістю трикутника маємо:
сума двох сторін довільного трикутника завжди більша за третю;
 третя сторона довільного трикутника більша за різницю двох інших сторін цього ж трикутника.
Отже, AB-BC<AC<AB+BC,
тоді за властивістю нерівності запишемо:
AB_BC+AB+BC<AB+BC+AC<AB+BC+AB+BC,
2AB<PABC<2(AB+BC),
де PABC=AB+BC+AC - периметр трикутника ABC.
Підставивши задані значення сторін трикутника, отримаємо
2•28<PABC<2(48+28),
або
96 см< PABC см.
Відповідь: 96 см< PABC см – Г.

 

Задача 29.13 O – точка перетину бісектрис AK і BL трикутника ABC.
Знайти <AOB, якщо <C=50.

Обчислення: Побудуємо трикутник за умовою завдання

За теоремою про суму кутів трикутника маємо:
<A+<B=180-<C=180-50=130, тоді (<A+<B)/2=65.
Оскільки AK і BL – бісектриси трикутника ABC, то

Відповідь: 115 – Б.

 

Задача 29.14 Градусні міри зовнішніх кутів трикутника ABC при вершинах A, B і C відносяться як 3:4:5.
Як відносяться градусні міри внутрішніх кутів трикутника при вершинах A, B і C.

Обчислення: Нехай градусна міра однієї частинки кожного зовнішнього кута трикутника ABC дорівнює x.(див. рисунок)

Тоді градусні міри трьох зовнішніх кутів трикутника дорівнюють (за умовою):
3x, 4x і 5x.
За теоремою про суму зовнішніх кутів трикутника маємо:
3x+4x+5x=360, звідси
12x=360,
x=360/12=30.

Градусні міри зовнішніх кутів трикутника ABC при вершинах A, B і C:
3•30=90,
4•30=120 і
5•30=150.

Оскільки внутрішній кут трикутника є суміжним із відповідним йому зовнішнім кутом, то за теоремою про суму суміжних кутів маємо:
180-90=90,
180-120=60 і
180-150=30
- внутрішні кути ΔABC.
Отож, запишемо відношення градусних мір внутрішніх кутів при вершинах A, B і C:
90:60:30, або 3:2:1.
Відповідь: 3:2:1– В.

 

Задача 29.15 Кути трикутника відносяться як 1:2:3.
Знайти відношення протилежних їм сторін.

Обчислення:
 Завданн за алгоритмом обчислень подібне до попереднього.
Спершу побудуємо трикутник до задачі
Нехай градусна міра однієї частинки кожного кута дорівнює x.
Тоді градусні міри трьох кутів трикутника дорівнюють (за умовою):
x, 2x і 3x.
За теоремою про суму кутів трикутника маємо:
x+2x+3x=180.
Розв'яжемо отримане рівняння і знайдемо x:
6x=180, x=180/6=30.
Отримали наступні градусні міри кутів:
α=30, β=60 і hamma=90.
За теоремою синусів запишемо рівність:

звідси
з цього слідує:
a=1•a, , c=2a.
Тому маємо відношення сторін:

Відповідь:Г.

 

Задача 29.16 Сторони трикутника дорівнюють 7 см, 8 см і 10 см.
Знайти косинус найбільшого кута цього трикутника.

Обчислення: Проти більшої сторони лежить більший кут, і навпаки, проти меншої сторони лежить менший кут.
Це Ви повинні вивчити і знати, як одну з важливих властивостей трикутника

Тому косинус кута будемо шукати напроти сторони, що дорівнює 10 см за теоремою косинусів:

Тут c=10 см, a=7 см і b=8см.
Отже,
10^2=7^2+8^2-2•8•7•cos(α),
100=49+64-112•cos(α),
112•cos(α)=13.

Відповідь: cos(α)=13/112 - Г.

 Сподіваємося Вам сподобалися пояснення до прикладів.
Далі наведемо готові відповіді до 9 прикладів на трикутники, які допоможуть в підготовці до ЗНО з математики.