Сьогодні розглянемо задачі на кути, діагоналі, площу ромба. Всі вони вимагають знання властивостей ромба та вміння їх застосовувати на практиці.
За кілька уроків на 29 прикладах Ви зможете оновити в пам'яті знання з шкільного курсу геометрії за 8-10 класи.
Готові відповіді до задач на ромб допоможуть при підготовці до ЗНО тестів з математики,  а також  школярам, що вивчають дану тему. 

Автори: Анатолій Капіносов, Галина Білоусова, Галина Гап'юк, Сергій Мартинюк, Лариса Олійник, Петро Ульшин, Олег Чиж

Завантажити онлайн відповіді (Посібник для підготовки до зовнішнього незалежного тестування з математики).

Рекомендуємо всім завантажити відповіді до ЗНО та самостійно пройти теми, з якими маєте труднощі на практичних.

 

Тема 32. Чотирикутники

Задачі на ромб

  

Приклад 32.7 Діагональ ромба утворює з однією зі сторін кут, що дорівнює 54 градуси. Знайти менший кут ромба.

Обчислення: Вводимо прості позначення, характерні для ромба ABCD, O – точка перетину діагоналей AC і BD, ∠ACB=54 – кут між діагоналлю AC і стороною BC у ромбі ABCD.

За властивістю: діагоналі ромба є бісектрисою його кутів, маємо
∠ACB=54, тому ∠C=54+54=108.
Оскільки кожен ромб – це паралелограм, то протилежні кути ромба рівні, а сума сусідніх кутів дорівнює 1800.
Тому ∠A=∠C=108, ∠B+∠C=180, звідси
∠B=180-∠C=180-108=72.
Отже, ∠A=∠B=72– менший кут ромба.
Відповідь: 720В.

 

Приклад 32.8 Одна з діагоналей ромба дорівнює 30 см. Знайти іншу діагональ ромба, якщо його периметр дорівнює 68 см.

Обчислення: Нехай маємо ромб ABCD, AC і BD=30 см – діагоналі ромба,
PABCD=68 см – периметр ромба.

Оскільки ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні, то

За властивістю паралелограма (діагоналі в точці перетину діляться навпіл):
BO=OD=30/2=15 см, а також AO=OC.
За властивістю ромба (діагоналі перетинаються під прямим кутом) маємо AC⊥BD, тому AO⊥OB, тобто ∠AOB=90.
У прямокутному трикутнику AOB (∠AOB=90) відомо:
BO=15 см – катет, AB=17 см – гіпотенуза.
За теоремою Піфагора знайдемо катет AO:
AB^2=AO^2+OB^2, звідси

Звідси, AC=2AO=2•8=16 см – друга діагональ ромба.
Відповідь: 16 см - Г.

 

Приклад 32.9 Сторона ромба дорівнює 6 см, а його площа – 18 см2. Знайти найбільший кут ромба.

Обчислення: Нехай маємо ромб зі стороною a=6 см (у нього всі сторони рівні), площею S=18 см2.

Площа ромба (як і будь-якого паралелограма) обчислюється за формулою:
S=a^2•sin(alpha), де alpha – кут між сторонами ромба.
Отже, 18=6^2• sin(alpha), звідси sin(alpha)=18/36=1/2.
Оскільки 0< alpha <180, то alpha[1]=30 і alpha[2]=180-30=150, так як sin(alpha)= sin(180-alpha).
Звідси, alpha=150 – найбільший кут ромба.
Відповідь: 1500 - Д.

 

Приклад 32.21 У ромбі ABCD більша діагональ AC поділяє висоту BK на відрізки BM=5 см і MK=3 см.
Знайти площу ромба.

Обчислення: Нехай маємо ромб ABCD, BM=5 см і MK=3см, BK=BM+MK=5+3=8 см, де BK– висота ромба, опущена на сторону AD (BK⊥AD), AC– діагональ ромба.

Розглянемо прямокутні трикутники AKM (∠AKM=90) і CBM (∠CBM=90).
∠AMK=∠CMB (як вертикальні), ∠MAK=∠MCB (як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC).
Звідси слідує, що ΔAKM~ΔCBM (подібні за трьома кутами) і тому їх сторони подібні.
Отже, AK=3k і BC=5k, де k – коефіцієнт пропорційності.
Оскільки, за означенням, у ромба всі сторони рівні, то AB=BC=CD=AD=5k.
Розглянемо прямокутний трикутник AKB (∠AKB=90), у якого BK=8 см, AK=3k – катети, AB=5k – гіпотенуза.
За теоремою Піфагора запишемо рівність:

звідси k=2. Отже, AD=5•2=10 см.
Знайдемо площу ромба:
S=BK•AD=8•10=80 см2.
Відповідь: 80 см^2 – Б.

 

Приклад 32.26 Діагональ ромба утворює зі стороною кут 600.
Установити відповідність між довжинами сторін (1–4) ромба і площами (А–Д) прямокутників з вершинами на серединах сторін ромба.

Обчислення: Нехай маємо ромб ABCD, AB=BC=CD=AD=a см – сторони ромба (за означенням сторони ромба рівні).
KLMN – прямокутник з вершинами на серединах сторін ромба ABCD.


Оскільки сторони ромба рівні, то ΔABD – рівнобедрений, тому ∠ADB=∠ABD=60.
Із суми кутів трикутника слідує, що ∠BAD=60.
Отже, ΔABD – рівносторонній, звідси BD=a см.
Так як відрізок KN з'єднує середини сторін AB і Ad відповідно, то KN – середня лінія ΔABD, тому KN=LM=a/2 см.
У прямокутному трикутнику NPD (∠NPD=90) маємо:
ND=a/2 і ∠NDP=60.
За означенням синуса гострого кута знайдемо катет NP:

Маємо (оскільки діагональ BD ділить MN відрізок навпіл).
Отже, KN=a/2 см – ширина і – довжина прямокутника KLMN.
Площа прямокутника KLMN:

На основі формули знаходимо площі ромбів та записуємо у відповіді:

 

Приклад 32.25 Установити відповідність між фігурами (1–4) та їхніми характерними властивостями (А–Д).
1. Описаний навколо кола чотирикутник
2. Вписаний у коло чотирикутник
3. Паралелограм
4. Ромб

А. Сума протилежних кутів дорівнює 1800.
Б. Діагоналі рівні.
В. Суми протилежних сторін рівні.
Г. Сума кутів при одній стороні дорівнює 1800.
Д. Діагоналі є бісектрисами кутів.
Обчислення: Дані висновки ґрунтуються виключно на властивостях чотирикутників і вимагають детальних пояснень.
Для себе запам'ятайте наступні відповіді, вони перевірені та правильні.

1 – В, 2 – А, 3 – Г, 4 – Д.

 Далі розберемо приклади на площу, середню лінію, периметр трапеції.