Прямокутник вивчають усі школярі і він належить до класу паралелограмів. Найбільший інтерес викликає обчислення площі та периметра прямокутника.
Нагадаємо, що паралелограми при сторонах мають як гострі так і тупі кути (див. рисунок).
паралелограм, площа, формула

Прямокутником називають такий паралелограм у якого всі кути прямі. Все це узагальнено, оскільки, якщо паралелограм має хоча б один кут прямий, то всі решта - також прямі. Більшість предметів, що нас оточують мають форму прямокутника: стіл, вікна, двері, кімнати, ділянки землі, навіть гроші.
Розглянемо прямокутник
прямокутник, площа, периметр

Точки А, В, С і D прийнято називати вершинами прямокутника, а відрізки, що їх сполучають АВ, ВС, CD і AD - сторонами прямокутника (ширина і довжина). Ті із сторін, що мають спільну вершину називаються сусідніми. Всі що не підпадають цьому визначенню називають протилежними (Протилежні сторонни паралельні між собою).
Відрізок, який сполучає найбільш віддалені вершини називається діагоналлю прямокутника.

Властивості прямокутника

Розглянемо чим відрізняється прямокутник від інших фігур.

1. У прямокутнику протилежні сторони рівні.

2. Рівні між собою і мають 90 градусів усі кути прямокутника.

3. Діагоналі прямокутника рівні і в точці перетину діляться навпіл.

4. Діагоналі трикутника поділяють його на два однакові трикутники.

Таким чином, якщо в пралелограмі рівні всі кути або один прямий, або однакові діагоналі то це прямокутник. Що стосується чотирикутників, то серед них прямокутником будуть лише ті, в яких всі кути рівні або хоча б три прямі. Бісектриса кута прямокутника відсікає від нього рівнобедрений трикутник.

Основними геометричними характеристиками прямокутника є периметр та площа.

Периметр прямокутника - формула

Периметр рівний сумі всіх сторін, які при цьому попарно рівні між собою. Тому формула периметру прямокутника має вигляд

P=2(a+b).

Приклад 1. Сторни прямокутника рівні 5 і 7 см. Знайти його периметр.

Розв'язок. Підставляємо значення в формулу периметру прямокутника

P=2(5+7)=24 (см).

Формула площі прямокутника

Площe прямокутника рівна добутку його ширини на висоту.

S=a*b.

Якщо задано довжину діагоналей (d) і кут між ними (alpha), то формула площі прямокутника рівна половині квадрату діагоналей на синус кута між ними.

S=d*d*sin(alpha)/2.
площа через діагональ прямокутника

Не забувайте, що площа вимірюється в одиницях квадратних, тому, якщо розміри задані в метрах то площа буде в метрах квадратних, сантиметрах – площа в сантиметрах квадратних і т.д.

 

Приклад 2. Діагоналі прямокутника перетинаються під кутом 30 градусів і рівні 5 см. Яка площа прямокутника?

Розв'язок. Підставляємо дані в формулу площі прямокутника через діагоналі

Відповідь. Площа рівна 6,25 сантиметрів квадратних.

Діагоналі прямокутника

У прямокутнику довжину діагоналі обчислюють через довжини сторін за теоремою Піфагора

d=sqrt(a^2+b^2) або

Отже ви вже знаєте як знайти площу прямокутника, периметр та діагональ.

Сторони прямокутника

Якщо відома діагональ і одна сторона, то другу також визначаємо за теоремою Піфагора

сторона прямокутника, формула або

Коло описане навколо прямокутника, вписане коло

Діаметр або радіус описаного навколо прямокутника кола Ви мабуть обчислювали. Проте навряд чи задумувались про вписане коло і геометричне місце його центрів.

коло описане, коло вписане, прямокутник

Діаметр описаного кола рівний діагоналі (d), відповідно радіус описаного кола - половині діагоналі (R=d/2). Вписаних кіл у прямокутник можна побудувати безліч. Радіус вписаного кола рівний половині довжини меншої сторони прямокутника (r=b/2). Якщо з'єднати центри всіх можливих вписаних кіл то отримаємо відрізок MN, довжина якого рівна різниці сторін (MN=a-b).

Наведена інформація про вписані та описані кола не часто пригодиться Вам при розв'язанні задач, але Ви повинні знати як в таких випадках обчислювати вказані величини.

Задачі на прямокутник

Сторони прямокутника

Задача 1. Довжина діагоналі і сторони прямокутника становлять 10 і 8 см. Знайдіть другу сторону.

Розв'язання. За теоремою Піфагора обчислюємо

теорема Піфагора

 

Задача 2. Довжина діагоналі прямокутника рівна 5 см. Одна сторона менша за іншу на сантиметр. Знайдіть сторони прямокутника.

Розв'язання. Позначимо першу сторону через х, тоді за умовою друга – х -1. Складаємо рівняння

рівняння

Підносимо до квадрату і розв'язуємо квадратне рівняння

квадратне рівняння
дискримінант
корені рівняння

Друге значення не має змісту. Для знаходження меншої сторони виконуємо віднімання

Відповідь. Сторони прямокутника рівні 3 і 4 см.

 

Задачі на площу та периметр прямокутника

Задача 3. Більша сторона прямокутника 8 см. Менша становить четвертину більшої. Яка площа та периметр прямокутника?

Розв'язання. Четвертина більшої означає одна четверта частина, тобто

b= 8/4=2 (см).

Площу та периметр знаходимо за формулами

P=2(2+8)=20 (см); S=2*8=16 (см^2).

Відповідь. Периметр 20 см, площа 16 сантиметрів квадратних.

 

Задача 4. Ділянка землі має площу 50 метрів квадратних. Який периметр ділянки, якщо діагоналі перетинаються під прямим кутом?

Розв'язання.

Оскільки кут між діагоналями 90 градусів, то це квадрат. Площа квадрата рівна квадрату сторони
квадрат, площа
Звідси знаходимо сторону
обчислення
Периметр знаходимо за формулою
периметр квадрата

Відповідь. Периметр рівний 32 м.

Не забувайте, що периметр вимірюється в одиницях довжини, а площа - в одиницях квадратних.
Тепер Ви знаєте, як знайти периметр та площу прямокутника. Користуйтеся формулами на практиці та вдосконалюйте навики обчислень вказаних величин.