Квадрат і коло – дві найпростіші фігури геометрії, властивості яких повинні знати усі. Квадрат є частковим випадком чотирикутників, прямокутників, паралелограмів, ромбів, а вирізняється рівними сторонами і прямими кутами.

квадрат

Квадрат найбільш симетрична фігура серед всіх чотирикутників.

Властивості квадрату

Властивості квадрата - це основні признаки, які дозволяють розпізнати його серед прямокутників, ромбів, чотирикутників

  • У квадрата всі сторони і кути рівні AB=BC-CD=AD.
  • Протилежні сторони паралельні між собою
    паралельність сторін
  • Кути між сусіднвми сторонами прямі.
  • Діалоналі квадрата рівні і перетинаються під прямим кутом.
  • Діагоналі є одночасно бісектрисами кутів квадрата.
  • Точка в якій перетинаються діагоналі є центром квадрату, крім цього – центром вписаного та описаного кола.
  • Діагоналі ділять квадрат на чотири однакові рівнобедрені прямокутні трикутники.

Площа квадрата

Найбільше прикладів в шкільному курсі при вивченні квадрату пов'язано з обчисленням його площі та периметру. Вам може здатися, що для обчислення площі достатньо знати одну формулу S=a*aі цього вистачить для всіх задач, протее це не так. Оскільки найшвидше інформація сприймається і вивчається візуально, то ми об'єднали всі величини квадрата, які Вам прийдеться обчислювати і намалювали прості і зрозумілі рисунки з формулами.

площа квадрата, формула

Більшість позначень Вам зрозуміла, але повторимо їх знову
a– сторона квадрата;
d– діагональ;
P– периметр;
S– площа;
R– радіус описаного кола;
r– радіус вписаного кола;
l– відрізок зображений на рисунку( часто використовується в складних прикладах).

Формули площі квадрата, які наведені нижче дають можливість її обчислення через периметр, сторону, діагоналі, радіуси.

площа квадрата, формула

площа квадрата, формула
площа квадрата, формула
площа квадрата, формула
площа квадрата, формула

Вони не надто складні і кожна з них може стати Вам в нагоді для обчислення площі квадрата.

Периметр квадрата

Що може бути простіше за обчислення периметру квадрата, якщо відомо його сторону. Однак, якщо задано лише діагональ, площу, радіус то знаходження периметру не таке очевидне. Наведений нижче рисунок містить найбільш необхідні формули для обчислення параметру

периметр квадрата, рисунок

Самі ж формули периметру від різних параметрів квадрату наведені нижче

периметр квадрата, формула
периметр квадрата
периметр квадрата через площу
периметр квадрата, формула
периметр квадрата, формула
периметр квадрата, формула

Діагональ квадрата

Діагональ квадрата може мути виражена через радіуси вписаного, описаного кіл, сторону, периметр , площу наступними формулами.

діагональ квадрата, формула
діагональ квадрата
діагональ квадрата, формула
діагональ квадрата
діагональ квадрата, формула
діагональ квадрата

В ролі довідника формул діагоналі квадрата можете використовувати наступний рисунок.

діагональ квадрата, формули

Радіус описаного кола

Найпростіша для обчислень формула радіуса описаного кола R=d/2, тобто радіус рівний половині діагоналі квадрата. Всі наступні формули, які допоможуть визначити радіус описанного кола містять корені, однак при обчисленнях незамінні.

радіус описаного кола через сторону
радіус описаного кола, діагональ
радіус описаного кола
радіус описаного кола, периметр
радіус описаного кола, площа
радіус описаного кола

Нижче зображено допоміжний рисунок з наведеними усіма формулами.

радіус описаного кола, формули

Радіус вписаного кола у квадрат

Радіус вписаного кола з рисунку рівний половині його сторони.

Радіус вписаного кола через сторону

Також він рівній одній восьмій частині периметру. Залежності для знаходження радіусу вписаного кола через площу, діагональ, радіус описаного кола містять ірраціональності. Однак і в умовах прикладів величини, що відомі для обчислення радіусу, як правило, задані з коренями або такими, які легко спрощуються( наприклад ).

радіус вписаного кола через периметр
радіус вписаного кола, формула
радіус вписаного кола через площа
радіус вписаного кола
радіус вписаного кола, формула

Чорновик-підказка формул радіуса вписаного в квадрат кола наведена нижче

радіус вписаного кола, формули

Якщо ж задано діаметр вписаного або описаного кола, то ділимо на два і можемо застосовувати в наведених формулах. Це Ви думаю пам'ятаєте.

Бонус для всіх школярів та студентів. Усі кольорові графіки з формулами площі квадрата, його периметру, діагоналі, вписаного та описаного радіусів Ви можете завантажити за посиланням унизу.
Роздруковуйте формули та користуйтеся в навчанні.

Сподобався матеріал – поділися посиланням з друзями.