Електрика

Закони Кірхгофа. Методи контурних струмів та вузлових потенціалів. Електричне коло

2018-12-05T21:11:38+02:00

Метод рівнянь Кірхгофа

Метод контурних струмів та метод вузлових потенціалів широко популярні при знаходженні опорів чи струмів в електричних колах. Алгоритми розрахунків всюди описані, проте не кожен студент їх розуміє та мало живих прикладів можна знайти в інтернеті. Суть методів полягає в вираженні струмів через напруги або навпаки, складанні рівнянь КІРХГОФА, а далі перевірки, чи все правильно розраховано.

Перший закон Кірхгофа: В кожному вузлі алгебраїчна сума струмів дорівнює нулю. При цьому струми, які входять в розгалуження й виходять із нього вважаються величинами різних знаків. Формула першого закону Кірхгофа має вигляд

Другий закон Кірхгофа: Для будь-якого замкнутого контура сума електрорушійних сил дорівнює сумі добутків сил струму на кожній ділянці контура на опір ділянки, враховуючи внутрішній опір джерел струму. Математично друге правило Кірхгофа записується формулою:

Баланс потужностей: Потужності , які генеруються джерелами енергії повинні повністью споживатися навантаженнями (резисторами).
Фізично це означає, що в електричному колі виконується баланс потужностей:
Р_дж=Р_сп.
Це наслідок закону збереження енергії.

Закони на вигляд достатньо прості якщо знати базові поняття, без яких розуміння електричних кіл неможливі.
Наведемо основні складові електричних кіл, щоб при подальшому поясненні Ви завжди могли вернутися до наведених далі підказок.
Електричним колом називають замкнутий контур, який складається з джерела струму, споживачів енергії та з'єднувальних проводів, через які проходить електричний струм.
Електромагнітні процеси, які відбуваються в електричних колах, можна описати за допомогою електричних величин — електрорушійної сили, струму й напруги.
Електричне коло — множина сполучених між собою провідниками , джерел струму й напруги, конденсаторів, перемикачів, котушок індуктивності і ін., через яку може проходити електричний струм.

До елементів електричних кіл належать:

Вузол - точка в якій сходиться хоча б три струми.
Вітка - частина кола по якій протікає один струм між двома суміжними вузлами.
Контур - будь-який замкнений шлях, що проходить по кількох вітках.
Незалежний контур - відрізняється від інших (раніше обраних) хоч би однією віткою.

Задача 1 Розрахункова-графічна робота з дисципліни «Електротехніка, електроніка».

Розрахуйте напруги на всіх компонентах кола та струми через них методом контурних струмів.
Для цього:

Перемалюйте задану схему.
Позначте умовні додатні напрямки всіх напруг і струмів, оберіть напрямки контурних струмів.
Складіть матричне рівняння для контурних струмів і розв’яжіть його, тобто розрахуйте контурні струми.
За значеннями контурних струмів розрахуйте значення струмів у всіх гілках.
За законом Ома розрахуйте напруги на всіх компонентах кола.
Нанесіть отримані значення струмів і напруг на схему кола, враховуючи умовні додатні напрямки.

Розрахуйте напруги на всіх компонентах кола та струми через них методом вузлових потенціалів.
Для цього:

Перемалюйте задану схему.
Заземліть один з вузлів кола.
Складіть матричне рівняння для вузлових потенціалів і розв’яжіть його, тобто розрахуйте потенціали всіх вузлів.
За значенням вузлових потенціалів розрахуйте значення напруг на усіх гілках.
За законом Ома розрахуйте струми через всі компоненти кола.
Нанесіть отримані значення струмів і напруг на схему кола, враховуючи умовні додатні напрямки.
Порівняйте із результатами, отриманими в п. 1 – вони повинні збігатись.

Розрахуйте потужності, які споживає кожний резистор, а також потужності, які виділяє кожне джерело енергії.
Порівняйте суму виділеної і спожитої потужності.

Дано:
R₁=4 Ом,
R₂=7 Ом,
R₃=10 Ом,
R₄=12 Ом,
R₅=20 Ом,
R₆=5,5 Ом,

E₂=20 В,
E₃=10 В.

Електрична схема

1 Спосіб: Метод контурних струмів

Алгоритм розв’язання електричного кола методом контурних струмів.
1. Спершу з'ясувати кількість незалежних контурів. Скласти рівняння за методом контурних струмів. Кількість рівнянь, які складені методом контурних струмів повинна дорівнювати кількості незалежних контурів. Бажано напрями контурних струмів задавати однаково (наприклад, за годинниковою стрілкою).
Запам'ятайте!Струми контурів із джерелами струмів вважаються відомими і для них рівняння не складається (зайва інформація).
2. Визначити власні та взаємні опори контурів і контурні ЕРС.
3. Будь-яким відомим Вам методом розв’язати систему рівнянь і знайти контурні струми.
4. За знайденими контурними струмами визначити струми у вітках схеми.
На практиці алгоритм працює так:

У колі три незалежних контури. За методом контурних струмів потрібно скласти три рівняння:
, або
.
Запишемо власні контурні опори:
R₁₁=R₁+R₂+R₆=4+7+5,5 Ом;
R₂₂=R₂+R₄+R₅=7+12+20 =39 Ом;
R₃₃=R₃+R₄+R₆=10+12+5,5=27,5 Ом.
Взаємні контурні опори при однакових напрямках контурних струмів - від'ємні:
R₁₂=R₂₁=-R₂=-7 Ом;
R₁₃=R₃₁=-R₆=-5,5 Ом;
R₂₃=R₃₂=-R₄=-12 Ом.
Запишемо значення контурних ЕРС:
E₁₁=E₂=20 В;
E₂₂=E₂=-20 В;
(напрямок E₂ не співпадає з напрямком I₂₂)
E33=E3=10 В.
Підставимо отримані значення у початкову систему рівнянь:
,
або у матричному вигляді:
.
Розв'яжемо цю систему рівнянь і знайдемо контурні струми.

Обчислимо значення струмів у гілках заданої системи:
I₁=I₁₁=1,38 A;
I₂=I₁₁-I₂₂=1,38-(-0,08)=1,46 А;
I₃=I₃₃=0,61 A;
I₄=I₃₃-I₂₂=0,61-(-0,08)=0,69 А;
I₅=I₂₂=-0,08 А;
I₆=I₁₁-I₃₃=1,38-0,61=0,77 А.

Обчислимо значення напруг на всіх компонентах кола (за законом Ома):
U₁=I₁·R₁=1,38·4=5,52 В;
U₂=I₂·R₂=1,46·7=10,22 В;
U₃=I₃·R₃=0,61·10=6,1 В;
U₄=I₄·R₄=0,69·12=8,28 В;
U₅=I₅·R₅=-0,08·20=-1,6 В;
U₆=I₆·R₆=0,77·5,5=4,235 В.

Метод вузлових потенціалів

У колі чотири вузли. Заземлений вузол с, тобто вважаємо його потенціал рівним нулю .
Задаємось напрямками струмів у гілках, як показано на рисунку. Записуємо І закон Кірхгофа для вузлів a,b і d:

Визначимо струми у гілках за законом Ома:

тут
- провідності відповідних гілок.
Підставимо отримані вирази у початкову систему рівнянь, відкриємо дужки і зведемо подібні доданки:
,
після спрощень
.
Розв'яжемо останню систему рівнянь методом Крамера.

Обчислимо значення напруг на всіх компонентах кола:

Обчислимо значення струмів у гілках заданої системи (за законом Ома):

Як видно з розрахунків, значення сил струмів та напругна кожному резисторі співпадають.

Обчислимо потужності, який споживає кожний резистор:
P₁=U₁·I₁=5,52·1,38=7,62 Вт;
P₂=U₂·I₂=10,22·1,46=14,92 Вт;
P₃=U₃·I₃=6,1·0,61=3,72 Вт;
P₄=U₄·I₄=8,16·0,69=5,63 Вт;
P₅=U₅·I₅=-1,6·(-0,08)=0,128 Вт;
P₆=U₆·I₆=4,26·0,77=3,28 Вт;

Обчислимо потужності, яку виділяє кожне джерело енергії:

Складемо баланс потужності заданого електричного кола та перевіримо правильність розрахунків:
, отже

що свідчить про правильність розрахунків.

Кулонівська та гравітаційна сила двох електронів

2018-10-20T18:35:46+03:00

Сьогодні розпочинаємо аналізувати готові відповіді до задач з електрики, які задавали на практикумі студентам математичного факультету ЛНУ ім. І.Франка. Відповіді до задач оформлені у вигляді таблиць, які добре відомі всім ще зі шкільних класів (фізика, хімія) та які добре структурують матеріал та дозволяють швидко зорієнтуватися що відомо, та що потрібно знайти. Задачі охоплюють широкий клас тем та вимагають добрих знань з теорії електричних полів, електричних законів. Все це є в книжках та у вільному доступі в інтернеті. Тому теорію обов'язково вивчайте, вона необхідна для розуміння ходу рішення завдань.
Пояснення до розв'язків максимально мінімізовані, щоб зробити наголос на самих обчисленнях, а не теорії.

Задача 1 Порівняти силу кулонівської взаємодії двох електронів із силою їх гравітаційної взаємодії.

Дано:

Розв’язання:

Силу кулонівської (електричної) взаємодії двох точкових зарядів обчислюють за законом Кулона:

де q1 і q2 - заряди двох точок;
r - відстань між точковими зарядами;
- коефіцієнт пропорційності.
Для двох електронів маємо:

Знайти:

Силу гравітаційної взаємодії двох матеріальних точок обчислюють за законом всесвітнього тяжіння:
, де m1 і m2 - маси двох матеріальних точок;
r - відстань між точками;
- гравітаційна стала.
Для двох електронів маса рівна:

Знаходимо відношення кулонівської сили між електронами до гравітаційної

У разів сила кулонівської взаємодії двох електронів більша за силу гравітаційної взаємодії.
Відповідь:

На цьому пояснення завершені і переходимо до наступних задач, всього вирішено 27 завдань з електрики.

Заряд заряджених краплин води

2018-10-20T18:44:13+03:00

Продовжуємо аналізувати готові відповіді до задач з електрики.

Задача 2 Який заряд q мають дві однаково заряджені краплини води, радіус яких , якщо сила їх взаємного гравітаційного притягання урівноважується силою кулонівського відштовхування?
Краплини вважати матеріальними точками.

Дано:

Розв’язання:

Аналогічно до попередньої задачі, визначаємо силу кулонівської взаємодії за формулою
, де q - заряд краплини води.
Гравітаційну взаємодію обчислимо за законом всесвітнього тяжіння

де - маса краплини води,
- густина води, - радіус краплини.

Знайти: q

За умовою задачі сили рівні:
, звідси

отже
.
Відповідь:

Знаходження заряду кульки

2018-10-20T18:47:52+03:00

Задача 3 Дві однакові кульки, маса кожної з яких m=20 мг, підвішені в повітрі на нерозтяжних невагомих непровідних нитках, закріплених в одній точці підвісу, довжиною l=0,2 л.
Одну з кульок відвели в бік, надали їй заряду і потім відпустили.
Після дотику з другою кулькою вони розійшлися так, що нитки утворили кут .
Визначити модуль заряду q, який надали першій кульці.

Дано:

Розв’язання:

Переведемо деякі величини в одиниці СІ:
- маса кожної кульки.
Після дотику кульок, одна з яких заряджена зарядом q, кожна кулька отримала заряд q/2 за законом збереження заряду. Тому між ними виникла сила кулонівської (електричної) взаємодії , внаслідок чого кульки розійшлися (відштовхнулись) так, що нитки утворили кут .

Знайти:
q

Після того, як кульки відштовхнулись ,на кожну кульку діють сила тяжіння (напрямлена вертикально вниз), сила натягу нитки (діє вздовж нитки) і сила електричної взаємодії (напрямлена горизонтально), де - відстань між кульками, - коефіцієнт пропорційності.
За ІІ законом Ньютона:
.
Виберемо осі так, як позначено на рисунку і спроектуємо сили однієї з кульок на ці осі,
на вісь x: , звідси
на вісь y: , звідси , або .
Отже, маємо

звідси
.

Відповідь:

Задача 4 Три однакових заряди ( кожний) розміщені у вершинах рівностороннього трикутника.
Який негативний заряд q₀ треба розмістити в центрі трикутника, щоб система перебувала у рівновазі?

Дано:

Розв’язання:

Нехай a - сторона рівностороннього трикутника. Його центр знаходиться на перетині медіан.
У центр трикутника слід помістити негативний заряд, модуль якого q0.

Знайти: q0

Оскільки система перебуває у рівновазі, то рівнодійна сил, прикладених до будь-якого із зарядів, що містяться у вершинах трикутника, дорівнює 0.
На заряд q3 діють сили Кулона з боку трьох зарядів , відповідно, тобто

Запишемо умову рівноваги:
. (*)
Виберемо вісь x вздовж лінії дії сили і позначимо - кут між віссю x і лініями дії сил і ( - це і буде кут між медіаною і стороною рівностороннього трикутника).
Спроектуємо рівняння (*) на вісь x:
, отримаємо
,
де - відстань між зарядами q0 і q3.
Отож,

звідси

Відповідь:

Напруженість електричного поля в оливі за якої куля почне спливати

2018-10-20T18:52:48+03:00

Задача 5 На дно посудини з оливою вміщено діелектричну кулю, діаметр якої d=0,8 см, рівномірно заряджену зарядом q=2 мкКл.
Густина оливи , речовини кулі .
Визначити напруженість електричного поля в оливі, за якої куля почне спливати.
Лінії напруженості однорідного електричного поля напрямлені вертикально вгору.

Дано:		Розв'язання: Переведемо деякі величини в одиниці СІ: - діаметр кулі, - заряд кулі.
Знайти: E

У посудині з оливою на кулю будуть діяти сила тяжіння (вертикально вниз), де - маса кулі,
- об'єм кулі; виштовхувальна (архімедова) сила (вертикально вгору),
де - густина оливи;
електрична (кулонівська) сила (вертикально вгору), де - напруженість електричного поля.
Рівняння рівноваги сил, що прикладені до кулі:

Нехай вісь y напрямлена вгору, тоді проекції вказаних сил на цю вісь:
, або , тобто звідси

Відповідь:

Відношення заряду кульки до її маси при обертанні

2018-10-20T19:01:48+03:00

Задача 6 Навколо нерухомого точкового заряду q0=+1 нКл рівномірно обертається під дією сил притягання негативно заряджена маленька кулька.
Чому дорівнює відношення заряду q до її маси m, якщо радіус орбіти R=2 см, а кутова швидкість обертання 3 рад/с ?

Дано:

Розв’язання:
Переведемо деякі величини в одиниці СІ:
- заряд кульки,
- радіус орбіти (відстань між зарядами).

Знайти: q/m

Запишемо рівняння руху точкового заряду згідно з ІІ законом Ньютона:
,
де - доцентрове прискорення кульки;
- електрична (кулонівська) сила.
Складемо рівняння рівноваги двох сил

звідси знаходимо відношення заряду до маси

З урахуванням знаку отримаємо

Відповідь:

Заряд q кульки підвішеної до пластини під кутом

2018-10-21T16:29:46+03:00

Задача 7 На вертикальній пластині достатньо великих розмірів рівномірно розподілений електричний заряд з поверхневою густиною 3 нКл/см² .
До пластини прикріплена нитка з підвішеною на ній кулькою, маса якої m=1 г.
Кулька має заряд того самого знака, що й пластина.
Обчислити заряд q кульки, якщо нитка утворює з вертикаллю кут 30 градусів.

Дано:

Розв’язання:
Переведемо деякі величини в одиниці СІ: ,
- маса кульки.
Напруженість електричного поля вертикальної пластини: , де
- електрична стала, з іншої сторони , звідси
(1).

Знайти:
q

Силу електричної (кулонівської) взаємодії знайдемо із рівняння рівноваги кульки, яка відхилилась на кут 30 градусів.
Після того, як кулька відштовхнулась від пластинки, то на неї діє сила тяжіння (напрямлена вертикально вниз), сила натягу нитки (діє вздовж нитки) і сила електричної взаємодії (напрямлена горизонтально).
За ІІ законом Ньютона:

Виберемо осі так, як позначено на рисунку і спроектуємо сили однієї з кульок на ці осі,
на вісь x:
, звідси
на вісь y:
, або .
Підставляємо все в формулу (1) та обчислюємо
.

Відповідь:

Задачі про напруженість електричного поля

2018-10-21T16:34:37+03:00

Задача 8 Досить довга нитка рівномірно заряджена з лінійною густиною .
Визначити модуль E напруженості електричного поля в точці A, яка міститься навпроти кінця нитки на відстані a від неї.

Дано:	Розв’язання: Модуль E напруженості електричного поля в точці A, яка міститься навпроти кінця нитки на відстані a від неї обчислюють за формулою, де - електрична стала
Знайти: E

Відповідь:

Задача 10 Однакові точкові заряди q1=q2=3 нКл розміщені на відстані l=10 см один від одного.
Визначити напруженість E електричного поля у точках, які лежать на перпендикулярі до середини відрізка, що сполучає заряди на відстані h=5 см від середини.

Дано:		Розв’язання: Переведемо деякі величини в одиниці СІ: На рисунку побудовано вектор напруже-ності результуючого поля, створеного двома позитивними зарядами. Вектор напруженості результуючого електрично-го поля знайдемо за принципом суперпозиції полів: . Оскільки l=2h, то утворений чотирикутник квадрат зі стороною .
Знайти: q

Модулі векторів напруженості електричних полів, створених І і ІІ зарядом:
, де q=q₁=q₂.
Модуль вектора напруженості результуючого електричного поля визначимо за теоремою Піфагора:
.
(Якщо проектувати напруженості на вісь, то ).
Відповідь:

Задача 11 Тонке кільце, радіус R=10 см, рівномірно заряджене з лінійною густиною 8 нКл/м.
Визначити модуль E напруженості електричного поля у точках, що лежать:
а) на осі кільця на відстані x=15 см від його центра;
б) у центрі кільця;
в) на великій відстані x>>R від кільця.

Дано:		Розв’язання: Переведемо деякі величини в одиниці СІ: R=10 см=0,1 м - радіус кільця, x=15 см=0,15 м - відстань від центра кільця, - лінійна густина заряду.
Знайти: E

Розіб'ємо кільце на множину елементів dl, заряд кожного з яких можна вважати точковим.
Довільний із цих елементів створює у точці A поле елементарної напруженості , вектор якої розкладемо на дві компоненти, відповідно, вздовж осі кільця та перпендикулярно до неї .
Величину вектора шукають за формулою: , де r - відстань від елементарного заряду до точки A.
З рисунка видно, що , , а і (вздовж кільця). Отже,
.
Щоб відшукати підсумкову напруженість EA поля в точці A досить проінтегрувати наведений вище вираз dEx по всій довжині кільця
(), оскільки інтеграл по контуру рівний нулю
(для кожного елемента кільця dl знайдеться симетричний до нього відносно центра O з протилежною складовою елемента напруженості -dEy, які у разі додавання взаємно компенсуються).
Отож, підсумковий вектор спрямований вздовж осі кільця, а його величина

б) Оскільки інтеграл по контуру від електричної напруженості рівний нулю , то модуль напруженості електричного поля в центрі кільця (в точці O):

в) модуль напруженості електричного поля на великій відстані x>>R від кільця ()
.
Відповідь:

Задача 12 Вважаючи протон і електрон, з яких складається атом водню, за точкові заряди, що розміщуються на відстані , визначити модуль напруженості E електричного поля в точках B і C (рис.).

Дано: .		Розв’язання: Переведемо деякі величини в одиниці СІ: . Заряд електрона: , Заряд протона: . На рисунку побудовано вектор напруженості результуючого поля, створеного двома зарядами: негативним (електрон) і позитивним (протон) в точках B і C.
Знайти: ,

Вектор напруженості результуючого електричного поля знайдемо за принципом суперпозиції полів: .
Модуль напруженості електричного поля в точці B (проекція векторів і в точці B на вісь x, бо ):

Спроектуємо модуль напруженості EC електричного поля в точці C на осі:
- проекція на вісь x;
- проекція на вісь y.
Тоді

Відповідь:

Сила F взаємодії півкільця з точковим зарядом

2018-10-21T16:36:15+03:00

Задача 9 Тонке півкільце радіуса R=10 см рівномірно заряджене з лінійною густиною 1 мКл/м, розташоване у вакуумі.
Визначити силу F взаємодії півкільця з точковим зарядом q=20 нКл, що міститься у центрі кривини, і модуль напруженості E електричного поля у цій точці.

Дано:		Розв’язання: Переведемо деякі величини в одиниці СІ: - радіус півкільця, - лінійна густина заряду, - точковий заряд.
Знайти:

Розіб'ємо півкільце на множину елементів dl, заряд кожного з яких dq=τ·dl можна вважати точковим.
Довільний із цих елементів створює у центрі кривини поле елементарної напруженості , вектор якої розкладемо на дві компоненти, відповідно, вздовж осі кільця та перпендикулярно до неї .
Величину вектора шукають за формулою:

З рисунка видно, що , де (на півкільці).
Отже, маємо

Звідси отримаємо модуль напруженості E електричного поля в центрі кривини півкільця

Сила F взаємодії півкільця з точковим зарядом q=20 нКл, що діє в електричному полі напруженістю E:
.
Відповідь:

Пристосувати прилад з ціною поділки i0=5 мкА для вимірювання напруги та струму

2018-10-21T16:40:24+03:00

Задача 13 Як пристосувати прилад з ціною поділки i₀=5 мкА, шкалою n=50 поділок та внутрішнім опором r=80 Oм для вимірювання таких електричних величин:
а) напруги до U=300 B,
б) сили струму до I=2A?

Дано: , а) U=300 В б) I=2 А.	Розв’язання: Переведемо деякі величини в одиниці СІ: .
Знайти: Rд, Rш

Для використання заданого чутливого мікроамперметра у ролі вольтметра до нього послідовно приєднують додатковий опір Rд (рис. а), і прилад вмикають паралельно до споживача (опором R).
Тоді максимальна сила струму через прилад становить , якому відповідає спад напруги , звідси
.
Отже, з метою використання заданого приладу у ролі вольтметра до нього потрібно послідовно приєднати додатковий опір величиною 1,2 МОм.

Для використання заданого приладу у ролі амперметра до нього паралельно приєднують шунт з опором Rш (рис. б).
Тоді, за першим правилом Кірхгофа, сила струму I, що проходить через споживач опором R, дорівнює сумі сил струмів, які проходять, відповідно, через амперметр і через шунт:
.
Звідси Iш=I-i0·n.
За законом Ома:
, звідки визначаємо опір шунта:

Оскільки спади напруг на амперметрі та на шунті однакові, то .
Тому для опору шунта одержуємо вираз:

Отже, для використання заданого приладу у ролі амперметра, розрахованого на силу струму 2А, до нього треба паралельно приєднати шунт з опором 0,01 Ома.

Відповідь: