Критичні точки – це точки в яких похідна функції рівна нулю, або не існує. Якщо похідна рівна 0 то функція в цій точці приймає локальний мінімум або максимум. На графіку в таких точках функція має горизонтальну асимптоту, тобто дотична паралельна до осі Ох.

критичні точки

Такі точки ще називають стаціонарними. Якщо бачите на графіку неперервної функції «горб» або «яму» пам'ятайте, що максимум і мінімум досягається в критичній точці. Розглянемо для прикладу наступне завдання.

Приклад 1. Знайти критичні точки функції y=2x^3-3x^2+5 .
Розв'язання. Алгоритм знаходження критичних точок наступний:

  • Знаходимо похідну функції
    похідна
  • З умови рівності нулю похідної визначаємо критичні точки функції
    умова на критичні точки

Отже функція має дві критичні точки.

Далі, якщо потрібно провести дослідження функції то визначають знак похідної справа та зліва від критичної точки. Якщо похідна при переході через критичну точку змінює знак з «-» на «+», то функція приймає локальний мінімум. Якщо з «+» на «-» маємо локальний максимум.

Другий тип критичних точок це нулі знаменника дробових та ірраціональних функцій
критичні точки

Функції з логарифмами та тригонометричні, які не визначені в цих точках
критичні точки
критичні точки
Третій тип критичних точок мають кусково-неперервні функції та модулі.
Для прикладу будь-яка модуль-функція має мінімум або максимум в точці зламу.

Наприклад модуль y=| x -5| в точці x=5 має мінімум (критичну точку).
Похідна в ній не існує, а справа і зліва приймає значення 1 та -1 відповідно.

Спробуйте визначити критичні точки функцій

1) функція
2) функція
3) функція
4) функція
5)

Якщо у відповіді у Ви отримаєте значення
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
то Ви вже знаєте як знайти критичні точки і зможете справитися з простою контрольною чи тестами.