Сьогодні навчимося знаходити похідну функції в напряму від точки до точки та градієнт векторного поля в точці.
Обчислення не складні, тому після першого прочитання розв'язків Ви зможете обчислювати подібні завдання самостійно.
Формули похідної за напрямом від точки до точки та градієнта поля в точці наведені в відповідях до прикладів.

Приклад 1 Знайти похідну функції z=x3-3x2y+3xy2+1 в точці M(3,1) у напрямку від даної точки до точки (6,5).

Розв'язання: Запишемо вектор - напрям зростання похідної функції між заданими точками.
Маємо все для обчислення напрямних косинусів

Знайдемо часткові похідні першого порядку заданої функції в точці M(3,1):
часткова похідна

Обчислимо похідну функції в точці M(3,1) у напрямку p=(3,4) за формулою:
формула похідної за напрямом
Ось і вся мудрість знаходження похідної функції за напрямом на площині.
В просторі всі формули масштабуються за рахунок третьої координати, але обчислення один в один ідентичні.
Знаходимо часткові похідні за трьома змінними, далі напрямні косинуси і все підставляємо в формулу похідної за напрямом.


Приклад 2 Визначити градієнт поля z=f(x,y) в точці M(x0,y0), якщо
1) z=x2+y2, M(3,2);
2) z=√(4+ x2+y2), M(2,1).

Розв'язання: 1) Маємо функцію z=x2+y2 і точку M(3,2).
Часткові похідні першого порядку функції обчислюємо для точки M(3,2):

Вони потрібні для знаходження напряму градієнта поля z=x2+y2 в точці M(3,2):

Залишилося знайти величину градієнта заданого поля, а це модуль знайденого тільки що вектора

2) Випишемо функцію z=√(4+ x2+y2) і точку M(2,1).
Обчислимо часткові похідні першого порядку функції в точці M(2,1):

Градієнта поля z=√(4+x2+y2) в точці M(2,1) запишемо за формулою :
градієнт поля
Знайдемо модуль градієнта заданого поля в точці M(2,1):
величина градієнта

 

Приклад 3 Знайти градієнт поля z=5x2y-3xy3+y4 в точці M(3,1).

Розв'язання: Обчислюємо часткові похідні першого порядку z(x,y) в точці M(3,1):

Запишемо напрям градієнта поля z=5x2y-3xy3+y4 в точці M(3,1):

градієнт в точці

Розраховуємо величину градієнта заданого поля:

Приклад 4 Обчислити градієнт поля:
z1=y/x в точці M1(1,1) та z2=xy в точці M2(2,2).

Розв'язання: Знайдемо часткові похідні функції z1=y/x в точці M1(1,1):

Далі напрям градієнта поля z1=y/x за формулою:

Величину градієнта поля z1=y/x в точці M1(1,1) рівна:

Часткові похідні другої функції z2=xy в точці M2(2,2):

Напрям градієнта поля z2=xy в точці M2(2,2) обчислюємо за правилом:

Модуль градієнта поля z2=xy в точці M2(2,2) рівний кореню квадратному з суми квадратів напрямних косинусів:
модуль градієнта
Практикуйте самостійно в обчисленні похідних і подібні приклади зможете розв'язувати швидко та правильно!