Обчислення модуля та напряму градієнта поля, функції, вектора досить просто повторити, якщо знати алгоритм розрахунків або готові відповіді подібних завдань. Сьогодні крім наведеного вище навчимося знаходити кут між градієнтами, похідну у напрямку градієнта та ще багато чого корисного для навчання. Прикладі підібрано так, що охоплюють навчальну програму більшості студентів ВУЗів.

Приклад 1 Знайти величину та напрям градієнта поля:
u=sin(x)+cos(y)+z-7.

Розв'язання: Кожне завдання з наведених в собі містить покроковий алгоритм знаходження градієнтів і інших величин, тож сприймайте все що тут написано як покрокову шпаргалку.
Першим ділом знайдемо часткові похідні функції u:

Градієнт поля u=sin(x)+cos(y)+z-7 знайдемо за формулою:
формула градієнта
Модуль градієнта поля u обчислюємо через корінь квадратний від квадратів проекцій градієнта на координатні осі:

Знаходимо напрям градієнта (косинуси) поля u:

Приклад розв'язано і даних відповідей цілком достатньо, щоб викладач побачив що добре засвоїли теоретичний матеріал та вмієте знаходити градієнти.

 

Приклад 2 Дано функцію z=arcsin(x/(x+y)).
Знайти кут між градієнтами цієї функції у точках (1,1) і (3,4).

Розв'язання: Знайдемо часткові похідні першого порядку арксинуса:

Обчислимо часткові похідні функції у точках(1,1) і (3,4):
часткові похідні арксинуса

Напрям градієнта заданої функції в точках (1,1) і (3,4) при цьому рівний:
напрям градієнта

За означенням скалярного добутку знайдемо косинус кута між градієнтами заданої функції у точках (1,1) і (3,4):
косинус між градієнтами

Кут між градієнтами функцій близький до 8 градусів

 

Приклад 3 Дано функції
Знайти кут між градієнтами цих функцій у точці (3,4).

Розв'язання: Для функції знаходимо часткові похідні у точці (3,4):
похідна в точці

Обчислимо часткові похідні другої функції у точці (3,4):
похідна в точці

Далі виписуємо напрям градієнтів заданих функцій в точці:

За означенням скалярного добутку знайдемо косинус кута між градієнтами заданих функцій у точці (3,4):

Через обернену тригонометричну функцію - арккосинус обчислюємо кут між градієнтами функцій:

Він близький до 101 градуса.

 

Приклад 4 Знайти похідну поля u=u(x,y,z) у напрямку градієнта поля v=v(x,y,z).
У якому випадку ця похідна буде дорівнювати нулю?

Розв'язання: Запишемо градієнт поля v=v(x,y,z):

Знайдемо напрямні косинуси градієнта grad(v):
напрямні косинуси

Запишемо часткові похідні заданого поля u=u(x,y,z):

Похідну поля u=u(x,y,z) у напрямку градієнта поля v=v(x,y,z) дає формула:

Обчислюємо похідну поля за напрямом
похідну поля за напрямом

Оскільки похідна поля за напрямком знаходиться за формулою частки добутку градієнтів до модуля градієнта

то з цього слідує, що похідна рівна нулю , тоді та лише тоді, коли градієнти перпендикулярні (кут між ними 90 градусів), тобто їх скалярний добуток дорівнюватиме нулю.

 

Приклад 5 Знайти grad[f(r)], де

Розв'язання: Знайдемо часткові похідні функції f(r) для функції :

Запишемо градієнт поля f(r):
градієнт поля

Дістали наступну формулу градієнта для функції

 

Приклад 6 В яких точках справджується рівність |grad(u)|=1, якщо u рівна ?

Розв'язання: За властивістю логарифма позбуваємося кореня та перепишемо функцію u у вигляді u=-1/2•ln(x2+y2+z2)

Обчислимо часткові похідні поля u:

Звідси градієнт поля рівний:

Обчислимо модуль градієнта:
модуль градієнта

За умовою |grad(u)|=1, складаємо рівняння

та розв'язуємо його

Отримали рівняння сфери з центром в початку координат (0,0,0) і радіусом R=1.

 

Приклад 7 У яких точках простору Oxyz градієнт поля u=x2+y3+z4-xyz перпендикулярний до осі Ox.

Розв'язання: Знайдемо часткові похідні заданої функції u=x2+y3+z4-xyz:

Обчислюємо градієнт поляu=x2+y3+z4-xyz за формулою:

Напрямний вектор осі Ox в координатній і векторній формі рівний:

Вектор grad(u) перпендикулярний до вектора p, якщо виконується умова
grad(u•p)=0.
Звідси складаємо рівняння для визначення точок в яких виконується умова


звідси 2x-yz=0, або z=2x/y.
В точках поверхні z=2x/y градієнт поля u=x2+y3+z4-xyz перпендикулярний до осі Ox.

Приклад 8 Обчислити:
а) grad|r|,
б) grad(r2),
в) grad(1/r),
де

Розв'язання: а) Обчислимо grad|r|.

Знайдемо часткові похідні функції |r|:

Далі обчислимо градієнт функції |r|:
градієнт

б) Обчислимо grad(r2).

Виконуємо аналогічні розрахунки, часткові похідні функції r2 рівні:

Запишемо градієнт функції r2:
градієнт

в) знайдемо grad(1/|r|).

Для функції часткові похідні приймають значення

Складаємо градієнт функції 1/|r|:
градієнт функції
Ось і всі приклади, які ми для Вас підготували.
Сподіваємось що пояснення Вам сподобалися та допомогли в навчанні.