Логарифмічне диференціювання функцій

Метод логарифмічного диференціювання стає в нагоді при диференціюванні добутку кількох функцій або їх частки. Його зручно застосовувати при дифенеціюванні виразів, що містять корені із дробів (функцій), а також коли показник функції також являє собою функцію

В таких випадках доцільно обидві частини виразу спочатку прологарифмувати за основою , а потім приступити до диференціювання. Цей спосіб одержав назву логарифмічного диференціювання. Похідну від логарифма функції називають логарифмічною похідною. Суть методу за допомогою формул можна описати наступним чином:

маємо складну функцію вигляду

до обох сторін застосовуємо логарифмування

знаходимо похідні правої і лівої частини рівності

Прирівнюємо похідні і виражаємо

В цьому вся суть методу, далі все залежить від функції .

Якщо вона являє собою добуток функцій

то за властивостями логарифма він буде рівний сумі логарифмів

Якщо маємо дріб від функцій

то, застосовуючи логарифмування, отримаємо

Якщо маємо функцію в степені іншої

то за властивостями логарифма отримаємо

У випадку коренів диференціювання значно спрощується

Подальше обчислення похідних залежить від складності самих функцій. Розглянемо конкретні приклади, щоб даний матеріал став для Вас більш зрозумілішим і наочнішим.

Приклад 1.

Використовуючи логарифмування знайти похідну (Дубовик В.П., Юрик І.І. "Вища математика. Збірник задач" )

1) (5.2.178)

2) (5.2.191)

3) (5.2.195)

4) (5.2.199)

Розв'язок.

Приклади вибрано складні для того, щоб розкрити всю силу методу логарифмічного диференціювання та розглянути типові поширені приклади.

1) Проведемо логарифмування лівої і правої частин

Знайдемо похідну правої частини

Похідна лівої частини показана при викладі теоретичного матеріалу. Записуємо обидві частини

Далі переносимо функцію із знаменника в праву частину та не забуваємо поміняти її значення

Незважаючи на складний вигляд даний приклад розв'язано.

2) Використаємо властивості логарифма до даного прикладу

Проводимо диференціювання обох частин рівності

Зведемо до спільного знаменника праву сторону. В результаті математичних операцій отримаємо

Підставимо в вихідну рівність, перенісши функцію в праву частину

В результаті ряду нескладних математичних маніпуляцій отримали досить компактний кінцевий результат похідної. При обчисленні даного прикладу напряму подібний результат довелося б шукати дуже довго.

3) Незважаючи на складний вигляд даний вираз, на основі властивостей степенів, можна переписати в наступному вигляді

Застосуємо до нього логарифмування

Похідна від правої частини буде рівна наступному виразу

Тут для спрощення подальших викладок введено позначення .

Враховуючи похідну від , остаточно отримаємо

Можна залишати в такому вигляді, оскільки суть даного уроку навчитися застосовувати метод логарифмічного диференціювання. Але, якщо Ви захочете для спрощення звести все до спільного знаменника, то отримаєте наступний вираз

Повірте це займе у Вас чимало часу.

4) Проводимо логарифмування функції

Дальше за методикою знаходимо похідну правої частини. Вона буде рівна виразу

Підставляючи в формулу для похідної від , отримаємо

На цьому розв'язування прикладу завершено.

Практикуйте з подібними завданнями і через певний час у Вас не буде жодних труднощів із такого сорту прикладами.

-------------------------------------------------------

Перейти на Попередню статтю  Головну сторінку Наступну статтю 

Copyright 2012-2014. yukhym. com - Математика для Вас
Joomla 1.7 templates free. Yukhym.com-математичний студентський портал
document.getElementsByTagName divphp if