Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона, если вероятности ее возможных значений
вычисляется по формуле Пуассона, где a=np<10. Как правило, Пуассоновское распределение касается вероятности появления благоприятного события в большом количестве экспериментов, если в одном - вероятность успешного завершения стремится к нулю.
В табличной форме этот закон распределения имеет вид
Условие нормировки для пуассоновского закона распределения запишется следующим образом
Построим образующую функцию вероятностей для приведенного закона
Она принимает достаточно простой компактный вид
Воспользовавшись зависимостями для определения математического ожидания М (Х) и дисперсии D (X) через производные от образующей функции в единице, получим их простые зависимости
1. Математическое ожидание определяется по формуле
2. Имея вторую производную от образующей функции в единице
находят дисперсию
Среднее квадратическое отклонение вычисляем через квадратный корень из дисперсии
Следовательно, для пуассоновского закона распределения вероятностей математическое ожидание и дисперсия равны произведению количества опытов на вероятность благоприятной события
На практике, если математическое ожидание и дисперсия близкие по значению то принимают гипотезу, что исследуемая величина имеет закон распределения Пуассона.
3. Асимметрия и эксцесс для пуассоновский закон также уровни и вычисляются по формулам
Рассмотрим несколько задач.
----------------------------------------
Задача 1. Микропроцессор имеет 10000 ранзисторов, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что транзистор выйдет из строя во время работы прибора, является величиной маловероятной и составляет 0,0007. Определить математическое ожидание М (Х) и среднее квадратическое отклонение S (Х) случайной величины Х — исла транзисторов, выйдут из строя во время работы процессора.
Решение. Задача удовлетворяет всем законам пуассоновский распределения:
количество испытаний n=10000 велика;
вероятность р=0,0007 близка к нулю;
их произведение a=np=7<10.
На основе данных вычисляем заданные величины
------------------------------------
Задача 2. В рыбацком городке 99,99% мужчин хотя бы раз в жизни были на рыбалке. Проводят социологические исследования среди 10000 наугад выбранных мужчин. Определить дисперсию D (X) и среднее квадратическое отклонени S (Х) случайной величины Х — числа мужчин, которые ни разу не были на рыбалке.
Решение. егко убедиться, что величина Х имеет пуассоновский закон распределения. С условия задачи находим
По формулам находим дисперсию и среднее квадратическое отклонение
Можно найти в гугле еще много подобных задач, всех их объединяет изменение случайной величины по закону Пуассона. Схема нахождения числовых характеристик приведена выше и является общей для всех задач, кроме того формулы для вычислений достаточно простыми даже для школьников.
