Гипергеометрический закон распределения вероятностей столь тяжелый при первом ознакомлении, что лучше всего его объяснять на конкретном примере.
Пусть задано некоторое множество однотипных элементов, число которых равно N; из них K элементов имеют, например, признак А (цвет, стандартность, наполнения), а остальные N-K элементов - признак В. С этого множества наугад берут n еэлементов. Случайная величина X – число элементов с признаком вида А, что случается среди n наугад взятых элементов. Тогда X принимает значения k=0,1,2,...,min(n,K) , а вероятность их появления определяется гипергеометрическим законом распределения
В табличной форме записи этот закон распределения имеет вид
Напомним, что сочетание находим по формуле
а факториал функцию по правилу– 
При n=k і k=0 сочетание равное единице.
Условие нормировки для гипергеометрического распределения имеет вид
В зависимости от условия задачи наименьшее значение может составлять m = 0, 1, 2, 3, ..., m.
Числовые характеристики этого закона вычисляются по приведенным ниже формулам:
1. Математическое ожидание
2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
3. Для асимметрии
и эксцесса
формулы имеют довольно громоздкий вид, поэтому их, как правило, вычисляют в Эксель, или математических программах (Maple, MathCad, Mathematica).
Рассмотрим несколько примеров на применение приведенных выше формул
-----------------------------------------
Пример 1. В ящике содержится 10 однотипных деталей, из них 7 стандартных, а остальные являются бракованными. Наугад из ящика берут m деталей. Построить законы распределения целочисленной случайной величины Х — появление числа стандартных деталей среди m наугад взятых и вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D (X), и среднее математическое отклонение S(Х), если:
I. m = 3; II) m = 4; III) m = 5; IV) m = 7.
Решение. Используя формулу (253) построим гипергеометрические законы распределения:
I. Имеем следующие начальные условия для случая выбора трех деталей
n = 3; N=10; K= 7; N-K= 3; k = 0, 1, 2, 3.
В табличной форме гипергеометрический закон для этих данных имеет вид
или после вычисления сочетаний
в виде таблицы вероятностей
Условие нормирования
выполняется, следовательно все верно посчитано. Не ленитесь проверять его, оно намного скорее укажет Вам на присутствие ошибки при неправильной правой части. Вычисляем числовые характеристики:
Математическое ожидание
Дисперсию
Среднее квадратичное отклонение
ІІ. Выбирают четыре детали
n = 4; K= 7; N-K= 3; k = 1, 2, 3, 4.
В табличной форме закон распределения запишется формулами
или после вычислений в виде таблицы
Проверяем условие нормировки для найденных значений
Оно выполняется, следовательно можем вычислять числовые характеристики по приведенным выше формулам:
математическое ожидание примет значение
дисперсию и среднее квадратичное отклонение определяем по схеме предыдущей задачи
.
ІІІ. Выбирают пять деталей
т = 5; K = 7; N-K = 3; k = 2, 3, 4, 5.
В табличной форме закон подается в виде
или таблицы значений
Условие нормирования
выполняется. Вычисляем математическое ожидание
Составляющую дисперсии
дисперсию и среднее квадратичное отклонение
.
IV.) Выбирают семь деталей
т = 7; K= 7; N-K= 3; k = 4, 5, 6, 7.
В табличной форме данное деление принимает значение
или после вычислений
Условие нормирования
выполняется.
Числовые характеристики определяем на основе формул:
математическое ожидание
математическое ожидание квадрата величины
дисперсию
среднее квадратичное отклонение
На этом решение задачи завершено. Будьте внимательны при решении примеров на гипергеометрическое распределение, поскольку достаточно часто требуется находить сочетание 
и при упрощении факториалов можно допустить ошибку.
