Базисом пространства называют такую систему векторов в которой все остальные векторы пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов, входящих в базис.
На практике это все реализуется достаточно просто. Базис, как правило, проверяют на плоскости или в пространстве, а для этого нужно найти определитель матрицы второго, третьего порядка составленный из координат векторов. Ниже схематически записаны условия, при которых векторы образуют базис
условие на базис
условие на базис

Чтобы разложить вектор b по базисным векторам
e[1],e[2]...,e[n]
необходимо найти коэффициенты x[1], ..., x[n] при которых линейная комбинация векторов e[1],e[2]...,e[n] равна вектору b:
x1*e[1]+ ... + x[n]*e[n] = b.

Для этого векторное уравнение следует преобразовать к системе линейных уравнений и найти решения. Это также достаточно просто реализовать.
Найденные коэффициенты x[1], ..., x[n] называются координатами вектора b в базисе e[1],e[2]...,e[n].
Перейдем к практической стороне темы.

Разложение вектора по векторам базиса

Задача 1. Проверьте, образуют ли векторы a1, a2 базис на плоскости

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Решение: Составляем определитель из координат векторов и вычисляем его

определитель
Определитель не равен нулю, следовательно векторы линейно независимы, а значит образуют базис.

2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Решение: Вычисляем детерминант составленный из векторов
детерминант
Определитель равен 13 (не равен нулю) - из этого следует что векторы a1, a2 является базисом на плоскости.

---=================---

Рассмотрим типичные примеры из программы МАУП по дисциплине "Высшая математика".

Задача 2. Показать, что векторы a1, a2, a3 образуют базис трехмерного векторного пространства, и разложить вектор b по этому базису (при решении системы линейных алгебраических уравнений использовать метод Крамера).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Решение: Сначала рассмотрим систему векторов a1, a2, a3 и проверим определитель матрицы А
матрица из векторов
построенной на векторах отличных от нуля. Матрица содержит один нулевой элемент, поэтому детерминант целесообразнее вычислять как расписание по первому столбцу или третей строчке.
расписание определителя
В рекзультаье вычислений получили что определитель отличен от нуля, следовательно векторы a1, a2, a3 линейно независимы.
Согласно определению векторы образуют базис в R3. Запишем расписание вектора b по базису
векторное уравнение
Векторы равны, когда их соответствующие координаты равны.
Поэтому из векторного уравнения получим систему линейных уравнений
система линейных уравнений
Решим СЛАУ методом Крамера . Для этого запишем систему уравнений в виде

Главный определитель СЛАУ всегда равен определителю составленному из векторов базиса
главный определитель
Поэтому на практике его не исчисляют дважды. Для нахождения вспомогательных определителей ставим столбец свободных членов на место каждого столбца главного определителя. Определители вычисляем по правилу треугольников
вспомогательный определитель 1
вспомогательный определитель 2
вспомогательный определитель 3
Подставим найденые определители в формулу Крамера
формула Крамера
формула Крамера
формула Крамера
Итак, разложение вектора b по базису имеет вид b=-4a1+3a2-a3. Координатами вектора b в базисе a1, a2, a3 будут (-4,3, 1).

2) a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Решение: Проверяем векторы на базис - составляем определитель из координат векторов и вычисляем его
расписание определителя
Определитель не равен нулю, следовательно векторы образуют базис в пространстве. Осталось найти расписание вектора b через данный базис. Для этого записываем векторное уравнение
векторное уравнение
и преобразуем к системе линейных уравнений
СЛАУ
Записываем матричное уравнение
матричное уравнение
Далее для формул Крамера находим вспомогательные определители
вспомогательный определитель 1
вспомогательный определитель 2
вспомогательный определитель 3
Применяем формулы Крамера
формула Крамера
формула Крамера
формула Крамера
Итак заданный вектора b имеет расписание через два вектора базиса b=-2a1+5a3, а его координаты в базисе равны b(-2,0, 5).

 

Задача 3. Доказать что векторы a1, a2, a3 образуют базис в пространстве

1) a1 (3;-2;1), a2 (2; -5; 4) , a3 (2; -3; -1)
Решение: Записываем координаты в определитель и применяем правило треугольников для определителя
определитель
Поскольку определитель (=35) не равен нулю то векторы образуют базис в пространстве.

2) a1 (1; 1;1), a2 (2; -3; 2) , a3 (3; 4; 1)
Решение: Вычисляем определитель составленный из векторов
Det=1*(-3)*1+1*2*3+1*2*4-(1*(-3)*3+1*2*1+1*2*4)=-3+6+8+9-2-8=10 .
Векторы a1, a2, a3 линейно независимы (Det=10), а значит образуют базис в пространстве.

Теперь Вы знаете как проверить, что векторы образуют базис и сможете без проблем разложить вектор по базису.

Посмотреть материалы: