Если количество независимых испытаний достаточно большое применения формулы Бернулли становится трудоемким. Для упрощения вычислений применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа, которые дают близкий к формуле Бернулли результат при большом количестве испытаний и не требуют больших вычислений.
ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА
Вероятность того, что в 
независимых испытаниях с вероятностью появления события 
равной 
событие 
наступит ровно 
раз (безразлично в какой последовательности) определяется по приближенной формуле
где
– Функция Гаусса,
– аргумент функции Гаусса;
– вероятность противоположного события 
.
Формулу 
называют локальной формулой Лапласа.
Функция
обладает следующими свойствами:
1) она является четной функцией 
;
2) для значений аргумента больше четырех она сколь угодно мала 
Теорему Лапласа рекомендуется применять при значениях произведения больше девяти
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА
Вероятность, что в 
независимых испытаниях событие 
с вероятностью появления 
наступит не менее 
раз и не более 
(независимо от последовательности появления) приближенно определяется зависимостью
где 
– интегральная функция Лапласа;
– аргументы интегральной функции распределения;
– вероятность невыполнения события 
.
Функция 
обладает следующими свойствами:
1) она является нечетной функцией
2) для аргументов больше пяти она равна 0,5
Значение обеих функций 
находят из таблиц в которых функции с достаточной точностью протабульовани.
--------------------------------
Рассмотрим задачи на применение каждой из теорем.
Пример 1. Есть 100 лунок по которым случайным образом разбрасывают 30 шариков. Каждый шарик с равной вероятностью может попасть в любую лунку (в одну лунку попадает не более одного шарика). Найти вероятность того, что в выбранную лунку попадет ровно один шарик.
Решение. Проводится 
независимых бросков шариков с одинаковой вероятностью попадания при каждом броске
Вероятность попадания в лунку ровно одного шарика определим по локальной формулой Лапласа:
Для этого определяем составляющие
и подставим в зависимость
--------------------------------
Пример 2. Проводится 200 независимых опытов с вероятностью успеха в каждом 24%. Какова вероятность успешного проведения 50 опытов?
Решение. По условию 
находим составляющие формулы Лапласа
Подставляя в формулу, находим
--------------------------------
Пример 3. Вероятность выхода из строя за смену одного станка равна 0,1. Определить вероятность выхода из строя от 2 до 13 станков при наличии 100 станков.
Решение. Записываем входные данные
Для подобных примеров применяем интегральную формулу Муавра-Лапласа и находим вероятность
--------------------------------
Решение задач по приведенным теоремам позволяет при большом количестве испытаний находить приближенное значение вероятности. Локальная теорема необходима при определении конкретного количества появления событий, интегральная теорема Муавра-Лапласа - в случаях, когда задан диапазон возможного количества появлений события. Таблицы табулирования функций, применяемых в формулах можно найти в сборниках по теории вероятностей и интернете.
