Исследование сходимости рядов является важным с точки зрения их оценки и необходимым в случае вычисления суммы ряда. Признаков сходимости рядов несколько, популярный и достаточно прост в применении для рядов с положительными членами - признак сходимости Даламбера. Ниже будет разобран ряд примеров на установление сходимости ряда по признаку Даламбера, советую для себя взять максимум полезного.
Напомним что предпосылками для применения признака Даламбера служит наличие степенной зависимости (2, 3, a в степени n) или факториалов в формуле общего члена ряда. Будет это знаменатель или числитель дроби совсем не имеет значения, важно что имеем подобную зависимость, ну или факториал и степенную зависимость в одном наборе. С факториалами у многих на первых порах возникают проблемы но с практикой Вы заметете что ничего сложного в факториалах нет. Надо только расписать факториал подробно до тех пор когда в числителе или знаменателе дроби поучим одинаковые множителе. На словах это звучит не всем понятно, но следующие примеры помогут Вам в этом разобраться. Ну и самые сложные примеры предполагают наличие комбинаций факториалов и степенных зависимостей, два или более факториала, тоже и для степенной фунции, всевозможные цепочки множителей и другие каверзные комбинации. Ниже приведены базовые примеры с которых и начинается практика проверки сходимости ряда по Даламберу.
Пример: 2.5 Исследовать сходимость рядов
а) 
Вычисления: Поскольку данный ряд имеет положительные члены то исследовать его на сходимость можем с помощью признака Даламбера:
Если А<1 ряд сходящийся, А>1 - ряд расходящийся и при A=0 следует использовать другие признаки сходимости рядов.
Записываем общий член ряда и следующий, идущий после него
И находим границу их доли
Поскольку граница бесконечна 
то по признаку Даламбера ряд расходящийся. Если искать суму ряда то она будет бесконечная.
б) 
Вычисления: Члены ряда положительные поетому исследуем на сходимость по признаку Даламбера - записываем формулы последовательных членов ряда
И находим предел отношения следующего члена к предыдущему при n стремящемуся к бесконечности
Граница равна нулю так как показатель стремится к бесконечности, а в скобках имеем значение меньше единицы.
По теореме Даламбера A = 0 <1 ряд сходится!
Пример: 2.8 Исследовать ряды на сходимость:
а) 
Вычисления: Как Вы уже убедились все примеры которые здесь рассматриваются следует проверять по признаку Даламбера.
В результате упрощения придем ко второму замечательному пределу - экспоненте
В общем граница меньше единицы 
следовательно ряд сходится.
б) 
Вычисления: Для проверки на сходимость ряда по признаку Даламбера вычисляем предел
Предел равен 0 (A = 0 <1) следовательно ряд сходится!
Пример: 2.14 Исследовать ряд на сходимость
а) 
Вычисления: Находим предел следующего члена ряда к предыдущему
Для удобства чтения формул следующий член ряда выделенный в формулах черным цветом. Хорошо разберитесь как делить факториал на факториал, как показывает статистика множество неверных ответов Вы у Вас выходит в примерах с факториалами.
По признаку Даламбера ряд сходится.
б) 
Вычисления: Записываем формулу общего члена ряда и последовавшего за ним
Подставляем их в формулу Даламбера и вычисляем предел
Граница равна нулю 0 <1, а это значит что данный ряд сходящийся.
Пример: 2.16 Исследовать ряд на сходимость:
а) 
Вычисления: По признаку Даламбера проверяем границу общего члена ряда на ограниченность
Превратив множители в числителе и знаменателе дроби сведем функцию в скобках ко второму замечательному пределу
Поскольку граница меньше единицы
то согласно теореме Даламбера ряд сходящийся.
б) 
Вычисления: Задан числовой степенной ряд с положительными членами. Найдем предел отношения последующего члена ряда к предыдущему
При исчислении границы считаю все моменты Вам понятны, если нет то Вам нужно прочесть статьи с категории "предел функций".
Получили предел меньше единицы,
следовательно ряд сходится за Даламбером .
Пример: 2.26 Исследовать сходимость ряда:
а) 
Вычисления: Для применения признака Даламбера выпишем общий член ряда и последующий за ним
Далее подставим их и найдем предел дроби
Предел равен A = 3/2> 1, а это значит что данный ряд расходящийся.
б) 
Вычисления: Записываем два последовательных члены положительного ряда
Находим границу для оценки сходимости ряда по теореме Даламбера.
В ходе вычислений получим второй замечательный предел (экспоненту) как в числителе, так и в знаменателе. Результирующая граница больше единицы 
, следовательно делаем вывод о расхождении ряда.
