Нахождение обратной матрицы является важной составляющей в разделе линейной алгебры. С помощью таких матриц, если они существуют, можно быстро найти решение системы линейных уравнений.
Матрица
называется обратной к матрице
,если выполняются следующие равенства.
.
Если определитель матрицы
отличен от нуля, то матрицу называют не особо или невырожденной.
Для того, чтобы матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной
Алгоритм нахождения обратной матрицы
Пусть имеем квадратную матрицу
и нужно найти обратную к ней. Для этого нужно выполнить следующие действия:
1. Найти определитель матрицы
. Если он не равен нулю то выполняем следующие действия. В противном случае данная матрица вырождена и для нее не существует обратной
2. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы 
. Они равны минорам, умноженным на 
в степени суммы строки и столбца, для которого ищем.
3. Составить матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы 
матрицы и протранспонировать ее. Эта матрица называется присоединенной или союзной и обозначается 
.
4. Разделить присоединенную матрицу на детерминант 
. Полученная матрица будет обратной и иметь свойства, которые изложены в начале статьи.
--------------------------------------------
Пример 1.
Найти матрицу, обратную к матрице (Дубовик В.П., Юрик И.И. "Высшая математика. Сборник задач")
1) (1.127)
2) (1.130)
3) (1.133)
Решение.
1)Находим определитель матрицы
Так как детерминант не равен нулю (
), то обратная матрица существует. Находим матрицу, составленную из алгебраических дополнений
Матрица дополнений примет вид
Транспонируем ее и получаем присоединенную 
Разделим ее на определитель и получим обратную
Видим, что в случае, когда определитель равен единице присоединена и обратная матрицы совпадают.
2) Вычисляем определитель матрицы
Находим матрицу алгебраических дополнений
Конечный вид матрицы дополнений
Транспонируем ее и находим союзную матрицу
Находим обратную матрицу
3) Вычислим детерминант матрицы. Для этого разложим его на первую строчку. В результате получим два отличны от нуля слагаемые
Находим матрицу алгебраических дополнений
. Расписание определителя проводим по строкам и столбцам, в которых больше нулевых элементов (обозначены черным цветом).
Конечный вид матрицы дополнений следующий
Транспонируем ее и находим присоединенную матрицу
Поскольку определитель матрицы равен единице то обратная матрица совпадает с присоединенной. Данный пример назад.
При вычислениях обратной матрицы типичными являются ошибки связанные с неправильными знаками при вычислении определителя и матрицы дополнений.
--------------------------------------------
------------------------------
