Решение иррациональных уравнений имеет практический интерес для школьников, абитуриентов, преподавателей. Поэтому не теряйте времени и изучите методику решений иррациональных уравнений.
Пример 1. Определить меньший корень иррационального уравнения
Решение.Схема вычислений такого сорта примеров следующая:
Переносим отрицательное слагаемое за знак равенства и возведем корни к квадрату. Чтобы не возникла ситуация, когда под корнем получим отрицательное значение в конце обязательно проверяем ответ
Поскольку подкоренное выражение должно быть положительным по определению то модули опускаем и группируем подобные слагаемые
Полученное квадратное уравнение согласно теореме Виета имеет корни x=1; x=5.
В условии спрашивают за меньшее значение, и здесь половина из вас в ответ впишется x=1.
И это будет неправильно! Попробуйте подставить единицу в уравнение
Получили корни из отрицательных чисел. Это в иррациональных уравнениях недопустимо, в комплексных числах обычная ситуация, но в 10 классе комплексные числа не учат. Теперь попробуйте подставить x=5
Получили тождество и проверили единственный правильное решение иррационального уравнения (x=5).
Корень и есть наименьшим для заданного примера. Вообще говоря, тестовые задания при поступлении в ВУЗы так и построены, что Вы долго решаете, тратите драгоценное время. И если не проверите правильность решения то можете недосчитаться нескольких необходимых для вступления баллов. Поэтому будьте внимательны при решении иррациональных примеров на тестах, контрольных, срезах.
Пример 2. Определить больший корень уравнения
Решение. Схему для такой задачи Вы уже знаете. Записываем область допустимых значений (ОДЗ) корней
Сводим иррациональное уравнение к квадратному
Возведем к квадрату, сгруппируем подобные слагаемые
Вычислим дискриминант уравнения
и его корни
И снова загвоздка - кто не знает отрицательных чисел тянется поставить в ответ x=-4. Однако -2,5 есть больше -5. Кто ответит x=-2,5 тоже может оказаться неправым если окажется, что значение не удовлетворяет ОДЗ. Поэтому, для себя сделайте простой вывод - после вычисления иррациональных уравнений проверяйте решение подстановкой. Поскольку -2,5>-5, то его мы и проверим
В таких вычислениях стоит иметь под рукой инженерный калькулятор.
Правые стороны равны, следовательно x=-2,5 – искомый корень иррационального уравнения.
Пример 3. Решение уравнения
Решение. Знакомьтесь с новым типом иррациональных уравнений - сумма корней равна нулю. Решать их легче, чем предыдущие задания. А все одно простое правило – сумма корней равна нулю тогда и только тогда, когда покоренные функции равны нулю.
То есть, нужно решить два квадратных уравнения и выбрать корень, который является общим для двух если таковой существует. В противном случае уравнение решений не имеет. Поскольку квадратичные функции под корнями несложные то решения находим через теорему Виета
Общим для двух уравнений будет x=-3 – это и есть искомое решение.
Пример 4. Определить сумму корней уравнения
которые являются натуральными числами.
Решение. Согласно условию произведение корней равно нулю. Очевидно, что каждый из корней нужно приравнять к нулю.
Суммируем корни 7-7+5=5.
Ответ: 5.
Здесь умышленно допущена ошибка, потому что такая ситуация часто встречается на практике.
Все решают и часто забывают что требовалось найти: сумму натуральных чисел (корней). Поэтому правильный ответ – (7+5)=12.
Пример 5. Определить наименьшее решение уравнения
Решение. Приравниваем корни до нуля и располагаем корни в ряд по возрастанию.
Есть 4; 7; 9,5. Наименьший из найденных x=4.
Пример 6. Решить уравнение
Решение. Не каждый может сразу увидеть, что поза корнем дело находится подкоренное выражение в квадрате. То есть
Отсюда легко находим решение x=3/2=1,5. Ошибкой в такого рода задачах является перенос квадратичной зависимости вправо за знак равенства и возведения к квадрату с последующими попытками упростить и получить ответ. Правильным алгоритмом в подобных заданиях является выделение полного квадрата. Это всегда помните и используйте на практике.
Пример 7. Решите уравнение
Решение. Имеем идентичный по методике решения пример, поэтому сразу запишем
4x+3=0; x=-3/4=-0,75,
а Вы попробуйте выделить полный квадрат и решить по приведенной выше схеме.
Пример 8. Решите уравнение 
Решение. Довольно распространенный вариант иррациональных задач. Прежде всего выписываем ОДЗ
Далее возводим обе части уравнения к квадрату
В некоторых закрадутся сомнения, что квадрат этого числа (-3,875)^2 меньше 15 и уравнение не имеет решения. Однако, проверка на калькуляторе показывает
что х=-3,875 является решением иррационального уравнения.
Это лишь малая часть примеров на иррациональные уравнения которые можно встретить на тестах при поступлении в ВУЗы. Однако на их базе можно получить немалый опыт, как не допустить ошибок при решении иррациональных уравнений.
Похожие материалы:
