Из формулы дифференциала произведения 
интегрированием двух частей равенства получаем формулу интегрирования по частям
По этой формуле нахождения интеграла 
сводится к нахождению другого интеграла 
Применять эту формулу нужно в тех случаях, когда интеграл вида 
легко находиться. Если неправильно выбрать 
, то задача наоборот может усладнится. Для применения формулы интегрирования по частям к интегралу 
необходимо подынтегральное выражение 
представить в виде произведения двух множителей 
и 
. За 
всегда выбирают такое выражение, что содержит . Его интегрированием можно найти 
. За 
в большинстве случаев принимается функция, которая при дифференцировании упрощается.
Таким образом на первый взгляд тяжелые и непонятные, с точи зрения вычислений, интегралы можно быстро свести к табличному виду. Рассмотрим примеры интегрирования по частям.
Примеры.
Вычислить интегралы
а) 
б)
в) 
г) 
д) 
е) 
Решение
а)Данный интеграл один из классических в курсе высшей математики. Функции 
подбираем таким образом
Согласно формул интегрирования по частям имеем
б)Для данного интеграла 
выбираем в виде
По формуле получим
в)В данном случае фунции выбираем следующими
Подставляем в интеграл
Видим, что снова получили интеграл к которому нужно применить правило интегрирования по частям
Формулы для 
берем из предыдущего интегрирования. Подставляя в интеграл, получим
До последнего интеграла опять применяем правило
Вторая переменная остается без изменений. Остался один шаг до полного вычисления.
Подставляя в исходную формулу, получим
г) Выбираем 
в виде
По правилу получим
Последний интеграл найдем по правилу разложения
Окончательно получим
д) Фунции 
вибираем в виде
По правилу имеем
Для последнего интеграла находим
Переменная 
остается без изменений. Вычислим интеграл
Подставим в предыдущее выражение
е)Выбираем 
следующими
Осуществим интегрирования по частям
Теперь 
останется таким как было, а 
находим
Опять интегрируем
Можно заметить, что искомый интеграл и последний одинаковы. Обозначим их
При этом получаем зависимость
Из уравнения выражаем неизвестную 
Такие интегралы встречаются очень редко, однако требуют особого внимания при их решении. Малейшая ошибка может привести к осложнению интеграла и искомого уравнения Вы не получите. Будьте внимательны при вычислениях.
Надеюсь, что с данного урока Вы много нужного для себя почерпнули. Практикуйте в решении задач и до встречи в следующих уроках.
