Примеры на интегрирование с использованием правила замены переменных под интегралом изучают студенты 1, 2 курсов. Это в основном задачи для математиков, экономистов, статистов, физиков, химиков. Данные примеры задавали на контрольной работе в ЛНУ им. И. Франка. Чтобы формулы в задачах и ответах не повторялись сами задания выписывать не будем. Всем и так известно, что в задачах нужно или "Найти интеграл", или "Вычислить интеграл".
Пример 1. Нужно найти интеграл от дробной иррациональной функции. Для этого сначала корни превратим в показатели
интеграл
Далее в числителе возведем дужку к квадрату. Остается разделить числитель на знаменатель и по правилу суммы проинтегрировать каждое из слагаемых.
интегрирование
В результате интеграл примет значение
упрощение
Пример 2. Вычисляем интеграл от произведения показательной функции на экспоненту. Для этого оба множителя вносим под общий степень и применяем формулуинтегрирования


Пример 3. Для нахождения интеграла под корнем выполним преобразования, которые позволят получить при переменной коэффициент единицу. Это удобно для прямого применения табличной формулы
интегрирование
арксинус
Поскольку имеем дело с неопределенными интегралами то следует не забывать добавить в конце постоянную.

Замена переменных под интегралом

Пример 4. Для вычисления интеграла обозначим дужку в знаменателе за новую переменную. Далее найдем dx и подставим в интеграл
замена переменных под интегралом
интегрирование
В конце не забываем вернуться к замене, которую делали в начале.

Пример 5. Для вычисления интеграла от дроби тригонометрических функций следует выполнить следующую замену. Ее трудно заметить, однако производная от котангенса равна минус единицы разделенной на синус в квадрате, то есть знаменателе дроби. Таким образом интеграл преобразуем к следующему
замена переменных под интегралом
интеграл
После интегрирования подставляем сделанную замену.

Пример 6. Нужно найти интеграл от экспоненты умноженной на иррациональную функцию от экспоненты. Для упрощения возьмем выражение под корнем за новую переменную и найдем остальные необходимых для интегрирования величины.
замена переменных под интегралом
После интегрирования возвращаемся к замене.
интегрирование
Пример 7. На вид сложный интеграл имеет простое решение. Все что для Вас создает трудности при интегрировании отмечайте за новую переменную. В этом задании особенность вносит функция под синусом. Ее и обозначим за u, и найдем дифференциал du
замена переменных под интегралом
Интеграл упростится до табличного значения, после его нахождения выполняем замену переменных.
интегрирование
Как только Вы изучите приведенные схемы интегрирование и сможете самостоятельно найти подобные интегралы - тогда контрольная работа не будет для Вас чем то сложным в обучении. Если в обучении встречаются сложные интегралы, которые Вы не в силах решить, помните - мы всегда готовы оказать помощь. Это предложение актуально как для студентов стационарной формы обучения, так и для заочников и школьников. Те кто заочно учатся получают очень слабую теоретическую базу для понимания всей силы формул интегрирования.

Готовые решения контрольной по интегрированию