Двойные интегралы используют в математике, механике, физике. С его помощью можно решить огромное количество непростых задач. Ниже приведено 10 примеров на двойные и тройные интегралы, которые в значительной степени облегчат подготовку к контрольной работе или экзамену. Примеры взяты из индивидуальной работы по высшей математики.

ВАРИАНТ - 12

Двойной интеграл

ЗАДАНИЕ 1.18 Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
двойной интеграл
Решение: Сначала записываем область интегрирования, которая ограничена границами
область интегрирования
где y=2/x - гипербола.
y=-x2- 4x-3 - парабола с вершиной в точке S (- 2;1), ветками вниз.
Чтобы знать, как расставить пределы интегрирования при изменении порядка интегрирования изобразим область интегрирования на плоскости
двойной интегралВыражаем полученные функции через переменную y: 
y=2/x
, отсюда x=2/y; y=-x2-4x-3, отсюда , перед радикалом стоит знак "+" поскольку часть параболы находится в правой (положительной по x=-2) части полуплоскости.
Из рисунку видим, что при изменении порядка интегрирования область необходимо разделить на три части: D=D1+D2+D3.
Расставим пределы интегрирования в каждой области:
предела интегрирования
Изменяем порядок интегрирования функции
изменение порядка интегрированияКак видите ничего сложного нет, главное представлять график функции и мать точки их пересечения - пределы интегрирования.

ЗАДАНИЕ 2.19 Найти площадь плоской фигуры, заданной следующими условиями, : y=2x, y=5, 2x-2y+3=0.
Решение: Прежде всего выполняем построение всех кривых, чтобы видеть как будут изменятся пределы интегрирования
Площадь фигурыДальше найдем точки пересечения графиков заданных функций :
1 и 2
пересечение функций
отсюда


Дальше точки пересечения 2 и 3 функций
точки пересечения
отсюда


Напоследок пересечение 1 и 3 ф-й
точки пересечения
отсюда

Заданную область будем разбивать на две области: D=D1+D2.
Расставим пределы для каждой из областей:
область интегрирования
Через двойной интеграл находим площадь фигуры которая  ограничена заданными кривыми, :
двойной интегралФункции не тяжелые для интегрирования, по етому в предпоследнем выражении подставьте пределы самостоятельно.
При округлении площадь криволинейной трапеции равна 2,037 единиц квадратных.

ЗАДАНИЕ 3.20 Найти двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями: D: y=x2-1, y=3.
Решение: Найдем точки пересечения графиков заданных функций: y=x2- 1 и y=3:
3=x2- 1, x2- 4=0, (x - 2) (x+2) x=-2; x=2.
Параболу и прямую изобразим графически
область интегрирования Расставим пределы интегрирования в заданной области D:
предела интегрирования
Вычислим двойной интеграл по области которая ограничена параболой и прямой:
двойной интеграл Определенный интеграл равен I=224/15=14,9 (3).

 

ЗАДАНИЕ 4.21 Найти двойной интеграл, используя полярные координаты:

Решение: Построим область интегрирования, которая ограничена кривыми

где y=R2- x2, x2+y2=R2


Получили круг с центром в точке O (0;0) и радиусом R (нижняя половина).
переход к полярной СК Используя замену переменных

перейдем к полярной системе координат (СК).
При этом подинтегральную функцию следует домножити на якобиан перехода, который находим через определитель из производных:
якобіан

Перепишем подинтегральную функцию в полярной СК :

Пределы интегрирования при переходе к полярной системе координат изменятся на следующие:

Вычислим двойной интеграл:
двойной интеграл Он равен I=Pi/4*sin (R2).

 

 

ЗАДАНИЕ 5.22 Вычислить площадь области D, ограниченной указанными линиями: D: x3=3y, y2=3x.
Решение: Найдем точку пересечения двух графиков : x1=0, y1=0; x2=3, y2=3.
Графики кривой в декартовой системе координат имеет вид
площадь криволинейной трапеции Расставим пределы интегрирования в области D:
область интегрирования
Найдем площадь криволинейной трапеции которая ограничена указанными линиями:
двойной интегралПлощадь равна 3 единицы квадратные.

 

ЗАДАНИЕ 6.23 Используя двойной интеграл, вычислить, перейдя к полярным координатам, площадь плоской фигуры : (x2+y2)3=4a2xy (x2- y2).
Решение: Сначала построим чотирьохпелюстник
площадь фигуры

Перейдем к полярной системе координат :

Якобиан перехода из предідущих примеров равен I=r.
Найдем пределы интегрирования в новой системе координат

Переменные пробегают значение:

Расставляем пределы интегрирования в двойном интеграле, таким образом найдем четверть площади плоской фигуры.
Дальше результат умножим на 4:
площадь фигурыПлощадь равна S=a2 единиц квадратных.

Внимательно проанализируйте как определять пределы интегрирования. Это тяжелее всего, что может быть в подобных задачах.
Как вычислить определенный интеграл, как правило, должны знать все студенты. Здесь лишь расширяется его приложение.

 

Тройной интеграл

ЗАДАНИЕ 8.25 Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если область V ограничена указанными поверхностями: V: x=2 y=3x, z=4 (x2+y2).
Нарисовать область интегрирования.

Решение: Уравнение поверхности в пространстве z=4 (x2+y2) - эллиптический параболоид.
График параболоида и проекция в декартовую плоскость тела имеют вид
параболоид Пределы интегрирования расставим следующим образом:
V:
предела интегрирования
Расставляем пределы интегрирования в соответствии с областью
Тройной интеграл

 

ЗАДАНИЕ 9.6 Вычислить тройные интегралы:

где V:

Решение: Выполним построение области интегрирования
параллелепипедЗаданная область V является параллелепипедом, потому без трудностей расставляем пределы интегрирования и от внутреннего к внешнему находим интеграл
тройной интеграл
Вычисления не сложны, потому превращение в формуле проанализируйте самостоятельно.

 

ЗАДАНИЕ 10.7 Используя тройной интеграл, вычислить объем тела : где z=x2, x - 2y+2=0, x+y=7 .
Нарисовать область интегрирования.

Решение: Забегая вперед, изобразим тело и его проекцию
телообласть интегрированияЭто поможет определить пределы интегрирования

С помощью тройного интегралу вычисляем объем тела, ограниченного поверхностями, :
тройной интеграл
Определенные интегралы не тяжелые, после их нахождений имеем объем 32 единицы кубические.

На этом расчетная работа по высшей математики решена.
Больше примеров на применение интеграла ищите на страницах сайта.
Если трудно решить контрольную работу или индивидуальные задания, тогда обращайтесь за помощью!